ピタゴラスの定理

レオナルド・ダ・ヴィンチによるピタゴラスの定理の証明。橙色のついた部分を90度回転し、緑色の部分は裏返して橙色に重ねる。

ピタゴラスの定理（ピタゴラスのていり、英語: Pythagorean theorem）は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す等式である。三平方の定理（さんへいほうのていり）、鉤股弦の定理（こうこげんのていり）とも呼ばれる。

概要

平面幾何学において直角三角形の斜辺の長さを c、他の2辺の長さを a, b とすると、

a² + b² = c²

が成り立つという定理である。

「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスが発見したわけではない。古代エジプトなどでもこの定理やピタゴラス数について知られていた。なぜピタゴラスの名を冠すようになり、ピタゴラスが発見者と伝えられたのか、詳しいことはよく分かっていない。

証明

この定理には数百通りもの異なる証明が知られている。ここにいくつかの代表的な証明を挙げる。

いずれも △ABC を ∠C が直角とし、頂点 A, B, C の対辺の長さをそれぞれ a, b, c とする。

相似による証明

相似を用いた証明

頂点 C から斜辺 AB に下ろした垂線の足を H とする。△ABC, △ACH, △CBH は互いに相似である。よって △ABC と △ACH の相似比より

$\text{AC}:\text{AH} = \text{AB}:\text{AC} \Longrightarrow \text{AH} = { \text{AC} \times \text{AC} \over \text{AB} } = {b^2 \over c}$

であり、同様に △ABC と △CBH の相似比より

$\text{BH} = {a^2 \over c}$

である。したがって

$c = \text{AB} = \text{AH} + \text{BH} = {b^2 \over c} + {a^2 \over c}$

であるから、両辺に$c$ を掛けて

$c^2=a^2+b^2$

を得る。

正方形を用いた証明

正方形を用いた証明

△ABC と合同な4個の三角形を図のように並べると、外側に一辺が a + b の正方形（以下「大正方形」）が、内側に一辺が c の正方形（以下「小正方形」）ができる。

（大正方形の面積）=（小正方形の面積）+（直角三角形の面積）× 4

である。大正方形の面積は (a + b)²、小正方形の面積は c²、直角三角形4個の面積の合計は

${ab \over 2} \times 4 = 2ab$

である。これらを代入すると、

$(a+b)^2=c^2+2ab$

整理して

$a^2+b^2=c^2$

を得る。

幾何学的な証明

内接円を用いた証明

△ABC の面積 S は

$S={ab \over 2}$　…(1)

また △ABC の内接円の半径を r とすると

$c=(a-r)+(b-r)$

であり、r について解くと

$r={a+b-c \over 2}$　…(2)

となる。S を r を用いて表すと

$S={r(a+b+c) \over 2}$

これに (1), (2) を代入すると

${ab \over 2}={(a+b-c)(a+b+c) \over 4}$

これを整理すると

$a^2+b^2=c^2$

が得られる。

ピタゴラス数

a² + b² = c² を満たす自然数の組 (a, b, c) をピタゴラス数という。特に、a, b, c が互いに素であるピタゴラス数 (a, b, c) を原始的（げんしてき、primitive）、素、あるいは原始ピタゴラス数などという。全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数の正の整数倍により得られる。

ピタゴラス数 (a, b, c) が原始的であるためには、3つのうち2つが互いに素であることが必要十分である。

性質

自然数の組 (a, b, c) が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 m, n（m と n は互いに素，m > n, m − n は奇数）を取ると

(a, b, c) = (m² − n², 2mn, m² + n²) or (2mn, m² − n², m² + n²)

であることが必要十分である。上記の (m, n) は無数に存在し、2mn はダブらないから、原始ピタゴラス数は無数に存在する。これにより原始ピタゴラス数をモレ・ダブリなく見つけ出すことができる。

例えば

(m, n) = (2, 1) のとき (a, b, c) = (3, 4, 5)

(m, n) = (3, 2) のとき (a, b, c) = (5, 12, 13)

(m, n) = (4, 1) のとき (a, b, c) = (8, 15, 17)

である。

原始ピタゴラス数 (a, b, c) について、次のような性質も成り立つ。

• a または b は 4 の倍数
• a または b は 3 の倍数
• a または b または c は 5 の倍数

また、一般のピタゴラス数 (a, b, c) に対して、$S=\frac{1}{2} ab$（直角三角形の面積）は平方数でない。

Jesmanowicz 予想

1956年に Jesmanowicz が以下の予想を提出した。

(a, b, c) を原始ピタゴラス数、n を自然数とする。x, y, z が

$(an)^x+(bn)^y=(cn)^z$

で自然数解を持つには、

$x=y=z=2$

であることが必要である。

一般化

角の一般化

余弦定理

c² = a² + b² − 2ab cos C

はピタゴラスの定理を $C=\frac\pi2=90^\circ \Leftrightarrow \cos C=0$ の場合として含む。

指数の一般化

指数 2 を一般化すると

aⁿ + bⁿ = cⁿ

となる。n = 2 の場合は自明でない (abc ≠ 0) 整数解は実質原始ピタゴラス数であり、無数に存在するが、n ≧ 3 の場合には自明でない整数解は存在しない（フェルマーの最終定理）。

次元の一般化

3次元空間内に平面があるとき、その閉領域 S の面積は、yz 平面，zx 平面，xy 平面への射影の面積 S_x, S_y, S_z を用いて

$S^2={S_x}^2+{S_y}^2+{S_z}^2$

と表される。これは高次元へ一般化できる。

参考文献

• 出光英則 『ピタゴラスがくれたおくり物　ピタゴラスの定理』 銀林浩編、国土社〈数学ワンダーランド 7〉、1997年8月。ISBN 4-337-56207-9。
• 大矢真一 『ピタゴラスの定理』 東海書房、1952年。
  • 大矢真一 『ピタゴラスの定理』 東海大学出版会〈東海科学選書〉、1975年。
  • 大矢真一 『ピタゴラスの定理』 東海大学出版会〈Tokai library〉、2001年8月。ISBN 4-486-01558-4。
• ロバート・カプラン・エレン・カプラン 『数学の隠れたハーモニー　ピタゴラスの定理のすべて』 水谷淳訳、ソフトバンククリエイティブ、2011年12月。ISBN 978-4-7973-6467-5。 - 原タイトル：Hidden harmonies。
• ジョセフ・H・シルヴァーマン 『はじめての数論　発見と証明の大航海　ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』 鈴木治郎訳、ピアソン・エデュケーション、2001年8月。ISBN 4-89471-421-3。 - 原タイトル：A friendly introduction to number theory。(2nd ed.)
  • ジョセフ・H・シルヴァーマン 『はじめての数論　発見と証明の大航海　ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』 鈴木治郎訳、ピアソン・エデュケーション、2007年4月、原著第3版。ISBN 978-4-89471-492-2。 - 原タイトル：A friendly introduction to number theory。(3rd ed.)
• エリ・マオール 『ピタゴラスの定理　4000年の歴史』 伊理由美訳、岩波書店、2008年2月。ISBN 978-4-00-005878-0。 - 原タイトル：The Pythagorean theorem。
• 森下四郎 『ピタゴラスの定理100の証明法　幾何の散歩道』 プレアデス出版、2006年1月。ISBN 4-7687-0879-X。 - 発売：現代数学社。
  • 森下四郎 『ピタゴラスの定理100の証明法　幾何の散歩道』 プレアデス出版、2010年8月、改訂版。ISBN 978-4-903814-36-0。
• 森下四郎 『ピタゴラスの定理をめぐる2つの謎　三平方の定理の謎』 プレアデス出版、2010年12月。ISBN 978-4-903814-39-1。

関連項目

• 計量テンソル
• ピタゴラス数
• プリンプトン322
• ユークリッド原論

外部リンク

• 柴田敏男『三平方の定理』 - Yahoo!百科事典
• 百科事典マイペディア『ピタゴラスの定理』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W., "Pythagorean Theorem" - MathWorld.（英語）