ピタゴラスの定理

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レオナルド・ダ・ヴィンチによるピタゴラスの定理の証明。橙色のついた部分を 90 度回転し、緑色の部分は裏返して橙色に重ねる。

ピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、: Pythagorean theorem)は、直角三角形の3の長さの関係を表す等式である。三平方の定理(さんへいほうのていり)、勾股弦の定理(こうこげんのていり)、商高の定理(シャンガオのていり)とも呼ばれる。

概要[編集]

平面幾何学において直角三角形斜辺の長さを c、他の2辺の長さを a, b とすると、

a2 + b2 = c2

が成り立つという定理である[1][2][3]

ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。例えば、直交座標系において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和として表すことができる[注 1]。このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間の距離を測ることができる。このようにして導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。

ピタゴラス直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスが発見したかどうかは分からない。バビロニア数学プリンプトン322古代エジプト[4]などでもピタゴラス数については知られていたが、彼らが定理を発見していたかどうかは定かではない。

ピタゴラス数[編集]

a2 + b2 = c2 を満たす自然数の組 (a, b, c)ピタゴラス数またはピタゴラスの三つ組数 (Pythagorean triple) という。特に、a, b, c互いに素であるピタゴラス数 (a, b, c)原始的 (primitive) あるいは (prime) であるといい、そのようなピタゴラス数は原始ピタゴラス数 primitive Pythagorean triple などと呼ばれる。全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数の正の整数倍により得られる。

ピタゴラス数 (a, b, c) が原始的であるためには、3つのうち2つが互いに素であることが必要十分である。

ピタゴラス数の性質[編集]

自然数の組 (a, b, c) が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 m, n

  • mn は互いに素
  • m > n
  • mn奇数

を満たすとして、

(a, b, c) = (m2n2, 2mn, m2 + n2) or (2mn, m2n2, m2 + n2)

であることが必要十分である。上記の (m, n) は無数に存在し、2mn は重複しないから、原始ピタゴラス数は無数に存在する。これにより、すべての原始ピタゴラス数を重複なく見つけ出すことができる。

例えば

(m, n) = (2, 1) のとき (a, b, c) = (3, 4, 5)
(m, n) = (3, 2) のとき (a, b, c) = (5, 12, 13)
(m, n) = (4, 1) のとき (a, b, c) = (8, 15, 17)

である。

原始ピタゴラス数 (a, b, c) について、次のような性質も成り立つ。

  • a または b4 の倍数
  • a または b3 の倍数
  • a または b または c5 の倍数

また、一般のピタゴラス数 (a, b, c) に対して、S = 1/2ab(直角三角形の面積)は平方数でない。

Jesmanowicz 予想[編集]

1956年に Jesmanowicz が以下の予想を提出した。

(a, b, c) を原始ピタゴラス数、n を自然数とする。x, y, z

(an)^x+(bn)^y=(cn)^z

で自然数解を持つには、

x=y=z=2

であることが必要である。

一般化[編集]

角の一般化[編集]

第二余弦定理

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

はピタゴラスの定理を C = π/2 = 90° → cos C = 0 の場合として含む。 つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の角度について拡張した定理になっている。

指数の一般化[編集]

指数の 2 の部分を一般化すると

an + bn = cn

となる。n = 2 の場合は自明でない(つまり a, b, c のいずれも 0 でない)整数解は実質原始ピタゴラス数であり、無数に存在するがn ≥ 3 の場合には自明でない整数解は存在しない(詳細はフェルマーの最終定理を参照)。

次元の一般化[編集]

3次元空間内に平面があるとき、その閉領域 S の面積は、yz 平面、zx 平面、xy 平面への射影の面積 Sx, Sy, Sz を用いて

S^2={S_x}^2+{S_y}^2+{S_z}^2

と表される。これは高次元へ一般化できる。

ピタゴラスの定理の証明[編集]

この定理には数百通りもの異なる証明が知られている。ここにいくつかの代表的な証明を挙げる。

以下では頂点 A, B, C からなる三角形を △ABC と表す。また、各辺 AB, BC, CA に向かい合う角をそれぞれ ∠C, ∠A, ∠B と表し、各頂点 A, B, C対辺 BC, CA, AB長さをそれぞれ a, b, c と表す。 頂点の記号は直角三角形 △ABC直角∠C になるように与える。

相似による証明[編集]

正方形を用いた証明[編集]

幾何学的な証明
Teorema de Pitágoras.Pappus1.svg
Pythagorean proof.png
周髀算経』におけるピタゴラスの定理の証明(中国語: 句股冪合以成弦冪

内接円を用いた証明[編集]

オイラーの公式を用いた証明[編集]

三角関数の微分公式を用いた証明[編集]

三角関数の加法定理を用いた証明[編集]

冪級数展開を用いた証明[編集]

回転行列を用いた証明[編集]

三角関数と双曲線関数を用いた証明[編集]

ピタゴラスの定理の逆の証明[編集]

ピタゴラスの定理の逆とは、ある △ABC について以下に示すピタゴラスの定理

a^2+b^2=c^2

が成立すれば、△ABC∠C = π/2 の直角三角形であるというものである。以下に証明を示す。

ピタゴラスの定理に依存しない証明[編集]

同一法を用いた証明[編集]

背理法を用いた証明[編集]

対偶法を用いた証明[編集]

転換法を用いた証明[編集]

余弦定理を用いた証明[編集]

ベクトルを用いた証明[編集]

脚注[編集]

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注釈[編集]

  1. ^ 2次元の座標系を例に取ると、ある点 Px 軸成分を x, y 軸成分を y とすると、原点から P = (x, y) までの距離は x2 + y2 と表すことができる。ここで 平方根を表す。
  2. ^ 級数の収束半径は であるからこれは任意の複素数 θ に対して成り立つ

出典[編集]

  1. ^ 大矢, 真一 『ピタゴラスの定理』 東海大学出版会〈Tokai library〉、2001年8月。ISBN 4-486-01558-4
  2. ^ 大矢, 真一 『ピタゴラスの定理』 東海大学出版会〈東海科学選書〉、1975年
  3. ^ 大矢, 真一 『ピタゴラスの定理』 東海書房、1952年
  4. ^ 亀井喜久男. “エジプトひもで古代文明に挑戦しよう”. 2008年3月3日閲覧。
  5. ^ 稲津 將. “オイラーの公式”. 2014年10月4日閲覧。
  6. ^ a b 複素数と三角関数”. 2014年11月15日閲覧。
  7. ^ a b 新関章三(元高知大学),矢野 忠(元愛媛大学). “数学・物理通信”. 2014年10月4日閲覧。
  8. ^ Leff, Lawrence S. (2005). PreCalculus the Easy Way (7th ed.). Barron's Educational Series. p. 296. ISBN 0-7641-2892-2. http://books.google.com/books?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296. 
  9. ^ a b c 三平方の定理の逆の証明”. 2014年10月8日閲覧。
  10. ^ 山本哲生. “複素解析”. 2014年10月4日閲覧。
  11. ^ 三角関数の基本を学ぼう”. 2014年10月4日閲覧。
  12. ^ a b 三平方の定理の証明”. 2014年10月5日閲覧。
  13. ^ Einige spezielle Funktionen”. 2014年11月26日閲覧。
  14. ^ Hamilton, James Douglas (1994). “Power series”. Time series analysis. Princeton University Press. p. 714. ISBN 0-691-04289-6. 
  15. ^ 行列と1次変換”. 2014年11月22日閲覧。
  16. ^ 対称行列と直交行列”. 2014年11月20日閲覧。
  17. ^ Solution for Assignment”. 2014年11月20日閲覧。
  18. ^ 双曲線関数について”. 2014年11月22日閲覧。
  19. ^ Complex Analysis Solutions”. 2014年11月22日閲覧。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]