計量テンソル

計量テンソル（けいりょうテンソル、metric tensor）は、リーマン幾何学において、空間内の距離と角度を定義する、階数（rank）が2のテンソルである。 多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）と呼ばれることもある。

ひとたび、ある座標系 xⁱ が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、Gとして表記され、各成分は、 $g_{ij}^{}$ として表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。

a から b　までの曲線の長さは、$t_{}^{}$ をパラメータとして、

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \$

として定義される。2つの接ベクトル（tangent vector）$U=u^i{\partial\over \partial x_i} \$ と $V=v^i{\partial\over \partial x_i} \$ のなす角度$\theta_{}^{}$ は、

$\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}} \$

で与えられる。

例

ユークリッド計量

2次元のユークリッド計量（平らな空間）は、

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$, 　$ds^2_{}=(dx^1)^2 + (dx^2)^2$

で与えられ、曲線の長さは、良く知られた公式

$L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2} \$

で与えられる。

座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。

極座標（Polar coordinates）

$(x^1, x^2)=(r, \theta) \$

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}$, 　$ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2$

円筒座標（Cylindrical coordinates）

$(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z) \$　

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$, 　 $ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + (dz)^2$

球座標（Spherical coordinates）

$(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi) \$

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}$, 　 $ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + r^2\sin^2\theta (d\phi)^2$

平らな ミンコフスキー空間（flat Minkowski space）

$(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x, y, z) \$

$g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$, 　$ds^2_{}=-(dt)^2 +(dx)^2 +(dy)^2+(dz)^2$