リーマン多様体

リーマン多様体（リーマンたようたい）とはベルンハルト・リーマンを冠した微分幾何および代数的な考え方である。リーマン幾何学や表面微分幾何において、リーマン多様体およびリーマン空間(M, g)とは内積の定義された接ベクトル空間上の実微分可能な多様体Mを指し、リーマン距離とは点と点を結ぶ距離を多様化したものである。リーマン距離を用いると、角度や曲線の長さなどの幾何的性質がリーマン多様体上で定義可能である。

はじめに

1828年にカール・フリードリヒ・ガウスが証明した『驚くべき定理 (Theorema Egregium)』により、表面に関する重要な性質が見いだされた。この定理は言い換えるなら曲面上のガウス曲線の長さが、その角度や距離などのみにより決定され、曲面がユークリッド空間内でどのように存在しているかには依存しないという性質を言い表している (英:Theorema Egregium)。リーマンはガウスの定理を多様体と呼ばれる高次元空間に拡張し、曲線の角度や距離を定義できるようにした。アルバート・アインシュタインは相対性理論においてリーマン多様体の考え方を利用した。

概要

滑らかな多様体M上の接束(接超平面の集合のこと)は接ベクトル空間と呼ばれるベクトル空間上に与えられ、おのおのの接ベクトル空間は内積が定義可能である。ここで、接束上の内積の集まりを滑らかに多様化すると、接ベクトル空間上で個々の点においてのみ定義されていた内積を多様体上の有限領域のおける類似表現に拡張することができる。例えば滑らかな曲線α(t): [0, 1] → Mが接ベクトル空間TM(α(t₀))上の接ベクトルα′(t₀) (t₀ ∈ (0, 1))を持つとする。このとき、各々の接ベクトルにおいて自分自身との内積によってノルム‖α′(t₀)‖が定義できるとするならば、曲線αの長さL(α)は次のように表される。

$L(\alpha) = \int_0^1{\|\alpha'(t)\|\, \mathrm{d}t}.$

この式においてα(t)の[0, 1]上での連続性からL(α)がこの曲線の長さとして表される。多くの場合において、線形代数的な考え方を微分幾何に応用する場合、この滑らかさという考え方は非常に重要である。

Rⁿ上の部分多様体がリーマン距離gを持つ場合、gは各々の接ベクトル空間におけるRⁿ上の内積に制限を与える。実際、ナッシュの埋め込み定理に従えば、すべてのリーマン多様体がこの性質を実現できる。ある滑らかな部分多様体上で距離が定義できるとき、その距離においてリーマン多様体を定義するなら、この等距離性は多様体上における曲線の長さが保存されることを意味する。この定義は理論的に十分な適応性を持つものではないが、リーマン幾何学を幾何学的な直感に基づいて理解しようとする場合には非常に役立つものである。

距離空間におけるリーマン多様体

リーマン多様体は多くの場合、接束上で正定値性を伴う滑らかな多様体によって定義される。このとき、リーマン多様体は距離空間に置き換えることが可能で、連続かつ微分可能な曲線γ: [a, b] → Mがリーマン多様体M上で与えられるとき、この曲線の長さL(γ)は例えば次のように表される。

$L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\, \mathrm{d}t.$

この定義において、全ての連続したリーマン多様体Mは距離空間となり、点xおよび点yとの距離d(x, y)は

d(x,y) = inf{ L(γ) : γ is a continuously differentiable curve joining x and y}

と与えられる。リーマン多様体は多くの場合において「曲線」であるわけだが、局所的に見て、最短距離で点と点を結んでいるという点においては「直線」であると考えることもできる。多様体がコンパクトであるという前提をおくと、任意の2点xおよびyについて長さd(x, y)の接続を考えることができる。もしコンパクト性がない場合には、これは真ではない。

性質

リーマン多様体において、測地的なコンパクト性やトポロジーのコンパクト性、距離のコンパクト性というのは同義であり、Hopf-Rinowの定理を示唆するものである。

関連項目

• 多様体
• 接ベクトル空間
• 距離空間
• リーマン幾何学

参考文献

• Jost, Jürgen (2008), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (5th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3540773405 
• do Carmo, Manfredo (1992), Riemannian geometry, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3490-2  ASIN 0817634908

（英語版「英:Riemannian Manifold」より引用）