リーマン多様体

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微分幾何学におけるリーマン多様体(リーマンたようたい、: Riemann manifold[1])とは、可微分多様体 M で M 上の各点に基本計量テンソル g が与えられているものを言う。ベルンハルト・リーマンによって導入された。

はじめに[編集]

リーマン多様体の考え方は1828年にカール・フリードリヒ・ガウスが証明した『驚くべき定理 (Theorema Egregium)』までさかのぼる。この定理は曲面の曲率(厳密にはガウス曲率)が、曲面が三次元空間にどのように埋め込まれるかに依存せず、単に角度や長さを定める計量テンソルにのみ依存するというものである (英:Theorema Egregium)。ガウスの弟子であったリーマンはガウスの定理を多様体と呼ばれる高次元空間に拡張した。この応用として、アルバート・アインシュタイン相対性理論においてリーマン多様体の考え方を利用している。

リーマン距離とは多様体上の各点に与えられた計量テンソルにより、点と点を結ぶ距離を多様化したものである。リーマン距離を用いると、角度や曲線の長さなどの幾何的性質が多様体上で定義可能である。

概要[編集]

滑らかな多様体M上の接束(接ベクトル空間の非交叉和集合)の元は多様体の各点に接ベクトル空間を対応させるような対応だと考えられる。おのおのの接ベクトル空間には内積が定義可能である。接束上の内積の集まりを滑らかに多様化すると、接ベクトル空間上で個々の点においてのみ定義されていた内積を多様体上の有限領域のおける類似表現に拡張することができる。例えば滑らかな曲線α(t): [0, 1] → Mが接ベクトル空間TM(α(t0))上の接ベクトルα′(t0) (t0 ∈ (0, 1))を持つとする。このとき、各々の接ベクトルにおいて自分自身との内積によってノルム‖α′(t0)‖が定義できるとするならば、曲線αの長さL(α)は次のように表される。

L(\alpha) = \int_0^1{\|\alpha'(t)\|\, \mathrm{d}t}.

この式においてα(t)の[0, 1]上での連続性からL(α)がこの曲線の長さとして表される。多くの場合において、線形代数的な考え方を微分幾何に応用する場合、この滑らかさという考え方は非常に重要である。

Rn上の部分多様体がリーマン計量gを持つ場合、gは各々の接ベクトル空間におけるRn上の内積から制限される。実際、ナッシュの埋め込み定理に従えば、全てのリーマン多様体は、このようにRn上の内積を何らかの方法で多様体上に写すことで実される。ある滑らかな部分多様体上で、Rnからの内積で距離が定義されるとすると、多様体上に等距離性が自然に導入される。この定義は理論的に不十分なところもあるが。リーマン幾何学を幾何学的な直感に基づいて理解しようとする場合には非常に役立つものである。

距離空間におけるリーマン多様体[編集]

リーマン多様体は一般に正定値の計量テンソルgにより内積が定義された多様体を指す。このとき、リーマン多様体は距離空間に置き換えることが可能で、連続かつ微分可能な曲線γ: [a, b] → Mがリーマン多様体M上で与えられるとき、この曲線の長さL(γ)は例えば次のように表される。

L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\, \mathrm{d}t.

この定義において、全ての連続したリーマン多様体Mは距離空間となり、点xおよび点yとの距離d(x, y)は

d(x,y) = inf{ L(γ) : γ はxとyを結ぶ曲線のうち最も長さが短いもの (測地線ともいう) }

と与えられる。リーマン多様体上では、異なる2点xとyを結ぶ線は多くの場合曲線」であるわけだが、局所的に見て、最短距離で点と点を結んでいるという点においては「直線」であると考えることもできる。多様体がコンパクトであるという前提をおくと、任意の2点xおよびyについて長さd(x, y)の接続を考えることができる。もしコンパクト性がない場合には、最短距離が決まらない可能性があり、これは真ではない。

なお、リーマン計量gが正定値の場合には、これにより定まる内積が距離を与えることは明らかである。gが正定値ではないが非退化 (行列でいうところの正則行列) であるならば、この計量を擬リーマン計量とよぶ。この擬リーマン計量は相対性理論において用いられるミンコウスキ空間をなすための重量な考え方である。

性質[編集]

リーマン多様体において、測地的なコンパクト性やトポロジーのコンパクト性、距離のコンパクト性というのは同義であり、Hopf-Rinowの定理を示唆するものである。

リーマン計量[編集]

n次元可微分多様体M上のリーマン計量とは次のような双線形写像gpを指す。

g_p \colon T_pM\times T_pM\longrightarrow \mathbf R,\qquad p\in M

これを用いると、M上の任意のベクトル場X,Yを用いて、

 p\mapsto g_p(X(p), Y(p))

という滑らかな関数が定義され、すなわち多様体の各点pにおいて内積が定められる。

より一般的な書き方をするなら、リーマン計量gは正定値な2階テンソルである。 多様体M上の局所座標x1, x2, ..., xnを用いて、接ベクトル空間の基底を

\left\{\frac{\partial}{\partial x_1},\dotsc, \frac{\partial}{\partial x_n}\right\}

と表すと、計量テンソルの各成分は、

g_{ij}(p):=g_p\Biggl(\left(\frac{\partial }{\partial x_i}\right)_p,\left(\frac{\partial }{\partial x_j}\right)_p\Biggr).

のように書ける。同様に余接ベクトル空間上の双対基底 {dx1, …, dxn} を用いると、

 g=\sum_{i,j}g_{ij}\mathrm d x_i\otimes \mathrm d x_j.

とも書ける。このように計量テンソルを導入することでリーマン多様体(M, g)が定まる。

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  • \frac{\partial }{\partial x^i}ei = (0, …, 1, …, 0) と同一視すると、開集合 URn 上の標準計量が、
g^{\mathrm{can}}_p \colon T_pU\times T_pU\longrightarrow \mathbf R,\qquad \left(\sum_ia_i\frac{\partial}{\partial x^i},\sum_jb_j\frac{\partial}{\partial x^j}\right)\longmapsto \sum_i a_ib_i
で定義される。すると、g はリーマン計量で、
g^{\mathrm{can}}_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}
である。この計量を持つと Rn は次元 nユークリッド空間と呼ばれ、gijcan は(標準)ユークリッド計量と呼ばれる。
  • (M,g) をリーマン多様体、NMM部分多様体とすると、gN に接するベクトルへの制限(restriction)は、N 上のリーマン計量を定義する。
  • さらに一般的には、f: MnNn+k埋め込み英語版(immersion)として、N がリーマン計量を持つとすると、f引き戻し英語版(pullback)を通して、M 上のリーマン計量を導く。
g^M_p \colon T_pM\times T_pM\longrightarrow \mathbf R,
(u,v)\longmapsto g^M_p(u,v):=g^N_{f(p)}(T_pf(u), T_pf(v)).
従って、これは計量である。正定値正は、埋め込みの微分形式の単射性に従う。
  • (M, gM) をリーマン多様体、h:Mn+kNk を微分可能写像、qNh正則値英語版(regular value)(プッシュフォワード英語版(differential) dh(p) は、すべての ph−1(q)) について全射である。従って、h−1(q)⊂M は次元 nM の部分多様体である。このように、h−1(q) は包含によってできるリーマン計量を持っている。

脚注[編集]

  1. ^ manifold は日本においては初期に集合体と呼ばれた。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

(英語版「英:Riemannian Manifold」より引用)

  • リーマン,リッチ,レビ=チビタ,アインシュタイン,マイヤー 『リーマン幾何とその応用』 矢野健太郎(訳)、共立出版、1971年
  • 矢野 健太郎 『微分幾何学』 朝倉書店、1949年
  • 矢野 健太郎 『接続の幾何学』 河出書房、1948年
  • 矢野 健太郎 『リーマン幾何学入門』 森北出版、1971年