開集合

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開集合(かいしゅうごう)は、その境界上にある点を自分自身にはまったく含まない集合のこと。あるいは、その任意の点の十分小さな近傍をそれ自身に必ず含む集合のこと。

例えば、数直線上で不等式 2 < x < 5 によって定まる集合は開区間と呼ばれるが、これは開集合である。 この場合の境界とは数直線上の点 2 と 5 であって、 不等式を 2 ≤ x ≤ 5 としたものや 2 ≤ x < 5 としたものは、境界を含んでいるので開集合ではない。 また、 2 < x < 5 によって定まる開区間内のどの点に対しても、その点の近傍として十分小さなものを選べば、それがもとの開区間に含まれるようにできる。

開集合の概念は一般の位相概念と深く結びつき、上の説明とは逆に、開集合であることを公理化してそれによって境界の概念を定義したりもされる(詳しくは位相空間の項を参照されたい)。この場合、開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては上で述べた説明とは逆に、例えば実数において境界上を含む集合(すなわち上の定義では閉集合)が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。

性質[編集]

  • 必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である。
  • 有限個の開集合の共通部分はまた開集合である。無限個の場合はその限りではない。
  • 距離空間 (X, d) において x を中心とする半径 ε の球体 B(x; ε) は開集合であり、任意の開集合 A はある xA を中心とする十分小さな半径 ε の球体 B(x; ε) を含む。
  • 開集合の補集合は閉集合である。
  • 多様体の一つの開集合は部分多様体である。

参考文献[編集]

関連項目[編集]