円板

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円板は、円で区切られた領域である。開円板は境界上の点を全て除いた内部であり、閉円板はその閉包で境界上の点を全て含む。

各種幾何学における円板(えんばん、: Disk, Disc)は、で囲まれた平面上の有界領域を言う。

円板はその境界となる円周を「全く含む」または「全く含まない」ことを以ってそれぞれ「閉」または「開」であるという(もちろん開でも閉でもない円板を考えることもできる)。

初等幾何学[編集]

直交座標系では、点 (a, b) を中心とする半径 R の開円板は

D=D((a,b);R)=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 < R^2\}

で、同じ中心と半径を持つ閉円板は

\overline{D}=\overline{D}((a,b);R)=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}

で表される。

ユークリッド幾何学における円板は、回転対称である。

半径 R の(開または閉)円板の面積は、πR2 である(境界上の点の有無は面積に影響しない。円の面積英語版も参照)。

定義[編集]

前節で述べたものは、ユークリッド平面 (R2, d2) の通常の距離 d2 に関する開円板

D(P;r)=\{Q \in \mathbb{R}^2: d_2(P,Q) < r\}

と閉円板は

\overline{D}(P;r)=\{Q\in \mathbb{R}^2 : d_2(P,Q) \le r\}

であり、これは R2 を任意の距離空間 (X, d) で置き換えてもそのまま通用する。

一般の距離空間における距離に関して円板を考えたものは、一般に球体 (ball) と呼ばれるものを定める(たとえば、三次元ユークリッド空間 (R3, d2) における円板は通常の意味における(狭義の)球体である)。即ち、この文脈において「円板」と言う代わりに「球体」を用いても同じ意味になる。

位相的円板[編集]

位相空間としての開円板と閉円板は同相でない(後者はコンパクトだが、前者はそうでない)。しかし代数的位相幾何学的な観点からは、これらは多くの性質が共通している。例えば両者とも可縮英語版であり、ゆえ一点ホモトピー同値である。従ってさらに、これらの基本群は自明であり、(Z と同型な零次を除く)全てのホモロジー群が自明である。一点のオイラー標数1 であるから、開および閉円板のそれもやはりともに 1 であることがわかる。

閉円板からそれ自身への任意の連続写像(これは全単射とは限らず、また全射であることすら仮定しない)は少なくとも一つの不動点を持つ(これは、ブラウワーの不動点定理英語版n = 2 の場合である)。この主張において閉円板であるというところを「開円板」に置き換えることはできない。例えば

f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)

は、開単位円板上の任意の点をその点の少し右へ写すから、固定される点は存在しない。

関連項目[編集]