複体

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複体の例

単体的複体(たんたいてきふくたい、simplicial complex)あるいは複体(ふくたい、complex)は、複数の単体を、同じ次元の面(部分単体)同士で貼り合わせてできる図形。単体の持つ性質から、複体およびその面は、それが含む頂点集合を決めることによって一意的に定まり、複体を頂点集合とその部分集合の族の組として組合せ論的に扱うことができる。

定義[編集]

有限個の単体の集合 K が、以下の条件を満たす時、Kを単体的複体であると言う。

  1. aK かつ ca の面ならば cK
  2. a, bK ならば、aba の面かつ b の面。

順序集合としての定義[編集]

単体的複体は順序集合としても定義され、それは既に与えた組合せ論的定義と等価である。順序集合 (X, ≤) が単体的 (simplex-like) であるとは、aX ならばある有限集合 Va が存在して

X_{\leq a} = \{ f \in X \mid f \leq a  \} \simeq \mathfrak{P}(V_a)

なる順序同型が成立することとする(右辺は Vaべき集合。また、空集合に合致する部分を除く場合もある)。このとき、順序集合 (Δ, ⊂) が

  1. X ∈ Δ ならば X は単体的、
  2. X, Y ∈ Δ ならば、順序 ⊂ に関する下限 XY が存在する。

という条件を満たすとき、Δ は単体的複体であるという。

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たとえば、二次元の世界で、正方形対角線を一本入れた図形は、複体である。なぜなら、この図形は三角形二つからなっているが、その二つの三角形の共通部分は、対角線であり、両方の三角形の面(この場合は線分)になっているからである。

もし、正方形に対角線を二本入れた図形を考えた場合、この図形は複体ではない。なぜなら、正方形の頂点を右回りに a, b, c, d とおくと、三角形 abc と三角形 bcd の共通部分は、正方形の中心点となる。中心点は、三角形 abc と三角形 bcd に含まれるが、両者の面ではない。

諸概念[編集]

頂点・面[編集]

二つの単体 a, b に対し、ab が成り立つことを、ab の面 (face) であるという(普通は面といえば二次元の幾何学的対象であるが、今の場合は各単体の次元は問わない)。また ⊂ の定める順序を面関係 (face relation) ということがある。頂点は面関係に関して(空集合を除いて)極小な単体として特徴付けられる。

準同型[編集]

複体の間の、単体の構造を保つ写像を単体写像複体の準同型あるいは複体の射、または単に複体の間の写像などという。具体的には 2 つの複体 K, L があるとき、K の頂点集合 VL から L の頂点集合 VK への写像 f が引き起こす K に属する単体全体のなす集合から L に属する単体全体の成す集合への写像 f* が包含関係による順序を保つとき、f は複体の間の写像であるという。f および f* がともに全単射であれば、2 つの複体は単体同型という。

二つの複体 K, L が単体同型ならば、二つの図形 |K|, |L| は位相同型であるという定理があり、この定理を用いると、曲線を用いない図形について、位相同型性を簡単に示すことができる。

関連項目[編集]