写像

写像（しゃぞう、mapping, map）あるいは関数（かんすう、function）とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元からなる集合を指定して結びつける対応のことである。

ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。圏と関手を縦横に駆使する最先端の数学を除けば、現代数学のほとんどが、集合と写像の言葉で書かれているといっても良いほどである。なお、分野によっては慣例として、「写像（map）」という用語が、ある特定の写像を意味することもある（例：トポロジーにおいては連続関数、線形代数においては線形写像など）。

現代的な立場では、「写像」と「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価函数参照）。日本語においてはその語感もあって（解析学の興味の対象となる）「数を値域に持つ写像」をして特に函数と呼ぶという傾向は現代においても根強い。函数、関係、対応の各項も参照のこと。

素朴な定義

集合 A の各元に対してそれぞれ集合 B の元をただひとつずつ指定するような規則 f が与えられているとき、f を 始域（しいき、source）A から終域（しゅういき、target）B への写像であるといい

$f\colon A \to B$

と表す。始域 A を sour(f)、終域 B を tar(f) のように記すこともある。また、A の元 a が f によって B の元 b に移されるとき、b を a における f の像あるいは値（あたい、value）と呼び、b を f(a) で表す。

もう少し一般に、必ずしも全体集合 A に一致するとは限らない部分集合 A′ に属する各元 a に対して、集合 B に a における f の値となる元 f(a) が与えられているとき、つまり写像

$f\colon A \supseteq A' \to B$

が与えられているとき、これをやはり

$f\colon A \to B$

と記して、f は A を始域、B を終域とする部分写像（ぶぶんしゃぞう、partial mapping）であるという。このとき、A′ を部分写像 f の定義域（ていぎいき、domain）と呼んで、D(f), dom(f) などで表す。部分写像 f の定義域 D(f) が始域 A に一致するとき、これを特に全域写像（ぜんいきしゃぞう、total mapping）と呼ぶ。

全域的でないものに限って部分写像と言っている場合もある。

部分写像と全域写像を総称して写像と呼ぶ流儀もある。これは、定義域と始域の区別を重視しない立場であるということもでき、この立場で始域や定義域を区別せずにドメイン (domain)あるいはソース(source)と呼ぶこともある。

B′ を B の部分集合とするとき、f によって B′ に写される始域 A の元全体からなる集合 {a ∈ A | f(a) ∈ B′} を B′ の逆像（ぎゃくぞう、inverse image）または原像（げんぞう、preimage）といい、f⁻¹(B′) で表す。

ここに、f⁻¹ は単なる符牒であって必ずしも写像を定義しないが、対応と考えることができるし、写像 f が逆を持てばそれに一致する。

A の部分集合 X の元の f による像たちの全体からなる終域 B の部分集合 {f(a) | a ∈ X} を X の f による 像（ぞう、image）といい、f[X], f″X などで表す。特に f の A による像 f[A] を f の値域 (range) と呼び、ran(f), Im(f) などで表す。

部分写像を写像と呼ぶ立場と同様に、やはり値域と終域を明示的に区別しない立場もある。またこの立場では値域と終域とを区別せずにコドメイン (codomain) あるいはターゲット (target) と呼ぶこともある。

形式的な定義

「二項関係」も参照

A から B への写像 f　に対して、f のグラフ G(f) を G(f) = { (x, y) | y = f(x) } によって定義すれば、

任意の x ∈ A に対して、ただ一つの y ∈ B が存在して (x, y) ∈ G(f)

が成り立つ。逆に、

(※) 任意の x ∈ A に対して、ただ一つの y ∈ B が存在して (x, y) ∈ G

をみたす A × B の部分集合 G に対して、必ず G(f) = G をみたす写像 f : A → B が存在する。したがって、A から B への関数たちと (※) をみたす A × B の部分集合たちの間には一対一の対応がある。そこで、(※) をみたす A × B の部分集合のことをこそ写像と呼ぼうというのが現代的な写像の定義の指針である。正確な定義を次に述べる。

順序対だけを要素として持つ集合（すなわち二項関係）f が次をみたすとき f は関数あるい写像であると言われる：

(x, y₁) ∈ f かつ (x, y₂) ∈ f ならば y₁ = y₂ 。

関数 f の定義域 dom(f) と値域 ran(f) は次のように定義される：

$\mathrm{dom}(f) = \{x \mid \exists y ((x,y)\in f)\},\quad \mathrm{ran}(f) = \{y \mid \exists x ((x,y)\in f)\}.$

dom(f) = A かつ ran(f) ⊆ B のとき、f は A から B への関数であるといい、

$f\colon A \to B$

と書く。f, g がともに A から B への関数のとき、f と g が等しいというのは当然、この二つの集合が同一であるということ、すなわち

∀x (x ∈ f ⇔ x ∈ g)

ということであるが、これは任意の a ∈ A に対して f(a) = g(a) であることと同値なので、素朴な意味で写像 f と g が等しいと言ったときと同じ意味となる。

自明な写像

• A の任意の元 a に対して a 自身を対応させると、これは A から A への写像になる。この写像を恒等写像 (identity mapping) といい、I_A とか id_A などと表す。
• B を A の部分集合とするとき、B の任意の元 b に対して b 自身を A の元として対応させる B から A への写像を包含写像 (inclusion mapping) という。
• f: A → B とする。A の部分集合 A′ について、A′ の各元 a に対して B の元 f(a) を対応させると、これは A′ から B への写像になる。この写像を f の A′ への制限写像といい、f|_A′ と表す。
• A が空集合のとき、A から B への写像はただ一つ存在し、これを空写像と呼ぶ。空写像に対応するグラフは空集合である。A の元が存在しないので何の対応も定めてはいないが、これも立派な写像である。素朴な定義では、f が写像であるとは「a が A の元ならば B の元 f(a) がただ一つ定まる」が成り立つことであったが、A が空集合ならば「a が A の元」は偽であるから、この命題は真である。この議論は A と B が共に空集合である場合も通用するので、空集合から空集合への写像は空写像ただ一つである。

写像の合成

詳細は「写像の合成」を参照

二つの写像 f: A → B, g: C → D を考える。 B が C の部分集合であるとき、A の任意の元 a に対してg(f(a)) は D のある一つの元になる。こうして決まる写像を f と g との合成（ごうせい、composition; 結合）といい、g ∘ f あるいは gf と表す。

fg あるいは f ∘ g, f ; g と書く流儀もある。

上の集合論的な定義からは

$G_{g \circ f} = \left\{ (a,d) \mid \exists x \in B\quad (a,x)\in G_f, (x,d) \in G_g \right\}$

が合成写像のグラフであり、 $g \circ f = (G_{g \circ f} , A, D)$ となる。 合成写像について、

$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

が成り立つ：すなわち、写像の合成は結合法則を満たす。このことから、A からそれ自身への写像全体の集合はモノイドをなすことがわかる。

全射・単射・全単射

詳細は「全射」、「単射」、および「全単射」を参照

• f: A → B について ran(f) = B が成り立つとき（つまり値域と終域が一致するとき）、 f を A から B への全射という。
• A の任意の元 a₁, a₂ に対して、a₁ ≠ a₂ ならば f (a₁) ≠ f (a₂) が成り立つとき、 f を単射という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。
• A から B への全射 f がさらに単射でもあるとき、f はA から B への全単射であると言われる。定義域を A とする任意の単射 f はあきらかにその値域 f(A) への全単射である。

逆写像

詳細は「逆写像」を参照

f を A から B への全単射とする。f(a) = b によって、「b を a に」対応させると、f は全射だから、全ての b がある a に対応していて、f が単射であることからそのような a は一つしかないことが分かる。こうして作られる写像を f の逆写像といい、f⁻¹ と表す。構成から、

$f^{-1} \circ f = I_A,\quad f\circ f^{-1} = I_B$

であることが分かる。

A からそれ自身への全単射全体の集合を S(A) とすると、写像の合成は結合法則を満たし、また任意の全単射が逆写像を持つから、これは群をなす。特に A が n 個の元からなる有限集合の場合の S(A) を n 次対称群という。

f: A → B, g: C → D について、f と g が合成可能で、g ∘ f: A → D が全単射であったとしよう。すると、任意の D の元 d に対して C のある元 c が対応していて g(c) であるから、結局 g は全射であることが分かる。さらに、f が単射でなければ、$g\circ f$ も単射でないことが容易に分かるので、（対偶をとって）仮定から、f が単射であることが分かる。

このことの逆も次の意味で成り立つ。

f: A → B が全射であるとき、（選択公理を仮定すると）ある B から A への写像 r が存在して合成

$f \circ r \colon B \to B$

は恒等写像 I_B に等しくなる。この r のことを、f の右逆写像という。

今度は f: A → B が単射であるとしよう。このとき、ある B から A への写像 l が存在して合成

$l \circ f \colon A \to A$

は I_A に等しくなる。この l のことを、f の左逆写像という。

この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる；

写像 f が右逆写像を持つとき、f を全射といい、f が左逆写像を持つとき、f を単射という。

関連項目

• 集合
• 関数 (数学)