圏論

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圏論(けんろん、category theory)とは、代数的な構成の変換の自然さを形式化するために導入された理論である。射のクラスである圏とその間の対応である関手、構成の置き換えの自然さを表す自然変換が主な道具立てである。

概要[編集]

有限次元線型空間Vとその二重双対空間V**は同型であるが、その同型は自然 (natural) であると呼ばれる。現代数学においてはこのような"自然さ (naturality) "と呼ばれる現象が頻繁に現れる。圏論の作られた目的の一つは、自然変換 (natural transformation) と呼ばれる射の族を定義することでこの自然さの概念を形式化することであった。なお、自然変換を定義するにあたっては関手 (functor) が、関手を定義するにあたっては圏 (category) をそれぞれ射の(余)ドメインにあたるものとして定義する必要があった。

圏、関手、自然変換[編集]

圏(category)[編集]

圏 (category) [1] は、射 (morphism, map, arrow)対象 (object) と呼ばれる 2種の集団からなる。

C の射 f は必ずドメイン (domain), 余ドメイン (codomain) と呼ばれる C の対象が割り当てられている。 A が f のドメイン dom(f) = A かつ B が f の余ドメイン codom(f) = B であるとき f : A → B と表記する[2]。 圏の射について以下が成り立つ

射の合成演算 (composite operator) ’・’の存在
C の射 f , g in C について、dom(g) = codom(f) ならばそれらの合成 g・f in C が唯一つ存在する
結合律 (associative law)
合成射 h・g , g・f が存在するとき、
h・(g・f) = (h・g)・f
がいつでも成り立つ。
単位元律 (unit law)
ドメインと余ドメインが同一の射 1B : B → B が存在し、任意の射の合成について
1B・f = f かつ g・1B = g ただし、f : A → B , g : B → C
が成り立つ。1B のような各対象に対して割り当てられ、上記性質を持つ射を恒等射 (identity) と呼ぶ。

定義から恒等射と対象の間には一対一対応が存在する。そもそも対象は恒等射を便宜上扱い易くするために導入されたものであり、対象を除いて恒等射のみで理論を展開することもできる。

関手(functor)[編集]

圏の間の射は関手 (functor) と呼ばれる。

関手は対象関数 (object function) と射関数 (arrow function, mapping function) の組からなる。関手 F : CD の対象関数とは、圏 C の各対象 A を圏 D の対象 D = F(A) に割り当てる関数のことであり、関手 F の射関数とは、圏 C の各射 f : A → B を圏 D の射 d = F(f) に割り当てる関数のことである。関手は以下の2条件を満たす

合成の保存
C の射 f,g について合成 g・f が定義されているときであればいつでも
F(g・f) = F(g)・F(f)
が成り立つ
恒等射の保存
C の各対象 A に対し
F(1A) = 1F(A)
が成り立つ。

例:hom関手[編集]

関手の典型的かつ重要な例は共変(反変)hom 関手である。
C の対象の組(A,B)に対して、A をドメイン、B を余ドメインとするすべての射 f : A → B のクラス

homC(A,B) = {f | f は C の射 f : A → B}

hom集合 (hom-set) と呼ぶ。圏の対象の各組について、hom 集合 homC(A,B) が文字通り集合(Set の対象)となるとき、圏 C は局所的に小さい (locally small) と呼ばれる。
ここで、圏 C は局所的に小さいとするとき、対象 A を固定した homC(A,-) は、 C の各対象 B を取りSetの対象 homC(A,B) を返す対象関数と C の各射 k : B → C を取り、 Setの射 homC(A,k) : homC(A,B) → homC(A,C) を返す射関数からなる共変hom関手(covariant hom functor)

homC(A,-) : CSet または、hA : CSet

をもたらす。なお、射 homC(A,k) : homC(A,B) → homC(A,C) は f : A → B に対し、左側から k : B → C を合成した k・f : A → C を割り当てるものであることから、k の左合成 (composition with k on the left) などと呼ばれる。
同様に対象 B を固定した homC(-,B) は、反変hom関手(contravariant hom functor)

homC(-,B) : CopSet または、hB : CopSet

をもたらす。このとき、射 homC(g,B) : homC(Z,B) → homC(A,B) は h : Z → B に対し、右側から g : A → Z を合成した h・g : A → B を割り当てるものであることから、g の右合成 (composition with k on the right) などと呼ばれる。

自然変換(natural transformation)[編集]

関手の間の射は自然変換 (natural transformation) と呼ばれる。F : CD 、G : CDを関手とするとき、自然変換 θ : F \dot{\rightarrow} G とは 圏 C の各対象 A に圏 D の射 θA : F(A) → G(A) を割り当てる関数(族)のこと[3]であり、圏 C の射 f : A → B すべてについて自然性 (naturality)

θB・F(f) = G(f)・θA

が成り立つもののことである。なお、このとき θA : F(A) → G(A) は A において自然 (natural in A) であると言う[4]
さらに、圏の射 f : X → Y に対して f-1・f = 1X、f・f-1 = 1Y を満たす射 f-1 : Y → X が存在するとき、f は可逆 (invertible) であるというが、自然変換 θ の各コンポーネントが可逆であるとき、 θ は自然同型 (natural isomorphism) もしくは自然同値 (natural equivalence) と呼ばれる。

自然変換は各対象に対して各コンポーネントを自然さを満たすように定めることで決定される。各コンポーネントの定め方が自明であるならば自然変換は決定されるが、そうでない場合は原則一律に各コンポーネントを定める定理が存在しないため、個別にコンポーネントを定めないことには自然変換を決定させることはできない。ただし、例外として hom関手と任意の集合値関手の間の自然変換については米田の補題により、集合の要素としての恒等射に対応する要素を定めることで自然変換を完全に決定させることができる。

各種用語[編集]

圏に内在する普遍性とそのスキーム[編集]

半順序について

束論について

上方対象と部分対象の半順序[編集]

定義 (A の上方対象, objects over A)
圏の対象 A と A を余ドメインとする圏の射 f : X → A とそのドメイン X との組 <X ; f> を A の上方対象 (object over A) と呼ぶ。特に、圏の射 f がモニックのとき A の部分対象 (subobject of A) と呼ばれる。

A の上方対象 <A1 ; α1 : A1 → A> , <A2 ; α2 : A2 → A> について、

  • (上方対象の等価性)<A1 ; α1> = <A2 ; α2> であるとは以下を意味する
A1 と A2 は同型、すなわち同型射 φ : A1 \cong A2 が存在する。[5]

同様に、

  • (部分対象の比較)<A1 ; α1> ≦ <A2 ; α2> であるとは以下を意味する
  1. α1 , α2 はモニック (monic),
  2. α1 = α2・γ を満たす射 γ : A1 → A2 が存在する[6]。なお、モニック射の性質から γ はモニック射であり存在すれば唯一つである[7][8]

この部分対象間の関係 ≦ は半順序をなす[9]

表現可能関手 (representable functor)[編集]

下方対象と商対象の半順序[編集]

定義 (A の下方対象, objects under A)
圏の対象 A と A を余ドメインとする圏の射 g : A → Y とその余ドメイン Y との組 <g | Y> を A の下方対象 (object under A) と呼ぶ。特に、圏の射 g がエピのとき A の商対象 (quotient object of A) と呼ばれる。

A の上方対象 <β1 : A → A1 | A1> , <β2 : A → A2 | A2> について、

  • (下方対象の等価性)<β1 | A1> = <β2 | A2> であるとは以下を意味する
A1 と A2 は同型 φ : A1 \cong A2

同様に、

  • (商対象の比較)<β2 | A2> ≧ <β1 | A1> であるとは以下を意味する
  1. β1 , β2 はエピ(epi),
  2. β1 = δ・β2 を満たす射 δ : A2 → A1 が存在する[10]。なお、エピ射の性質から δ はエピ射であり存在すれば唯一つである。

この商対象間の関係 ≦ も半順序をなす。

計算機科学のための圏論[編集]

計算機科学 (computing science) は、急速に発展した若い領域であることから、その領域内の諸概念を組織的に定式化する手法に未成熟であった。圏論はその計算機科学の必要としていた手法をもたらすものであったため、現在まで有効に活用されている。計算機科学における圏論の使用はジョセフ・ゴーグエンA Categorical Manifestoによってその指針が与えられている。

脚注[編集]

  1. ^ 圏の定義には、オリジナルのアイレンバーグ&マックレーンに連なるものと Buchsbaum 及びグロタンディークに連なるものがあり、対象と射の概念の位置づけがそれぞれ異なる。さらにマックレーンによる折衷案というべきものもあるが、ここではアイレンバーグ&マックレーンによる。
  2. ^ 射、対象、ドメイン、余ドメインなどの概念は英文法における『彼』や『彼女』、契約書における『甲』や『乙』など代名詞、指示符号としての役割を持つものである。例えば、圏が Sets と呼ばれるものであれば、Sets の定義において『対象』とは『集合』であり『射』とは『集合写像』であるため、対象という文言は集合、射という文言は集合写像と読み替えればよい。
  3. ^ なお、各射 θA、θB、θC、...のことを自然変換 θ のコンポーネントと呼ぶ。
  4. ^ 言い換えれば、圏の対象すべてにおいて自然であればその射の族は自然変換である。
  5. ^ 同型射を明示する場合は φ : <A1 ; α1> = <A2 ; α2> と書くこととする。
  6. ^ このモニック射 γ : A1 → A2 の存在を部分対象間の半順序 ≦ に代えて考えてもよい。すなわち、
    γ : A1 ”→” A2 <=> <A1 ; α1> "≦" <A2 ; α2
    とするのである。要するに、γ の射の向きを順序関係としてもよいということである。
  7. ^ 確認作業
    射 γ はモニック
    α1 = α2・γ が成り立ち、α1 はモニック。α2 がモニックであることから γ がモニックでないとすると α1 はモニックとはならない。そのため γ はモニック。
    射 γ は一意的に定まる
    α1 = α2・γ' が成り立つ射 γ' が存在するとする。
    α1 = α2・γ = α2・γ'
    で、α2 はモニック。モニック射の左キャンセル可能性から γ = γ'
    よって γ は存在すれば一意的に定まる。
  8. ^ この対応する唯一つのモニック射を明示する場合は γ : <A1 ; α1> ≦ <A2 ; α2> と書くこととする。 なお、
    γ : <A1 ; α1> ≦ <A2 ; α2
    γ' : <A2 ; α2> ≦ <A3 ; α3
    であれば、部分対象の半順序関係の定義から
    γ'・γ : <A1 ; α1> ≦ <A3 ; α3
    とモニック射の合成が推移律に対応することになる。
  9. ^ 確認作業
    (反射律)<A1 ; α1> ≦ <A1 ; α1> が成り立つ
    α1 = α1・1A1 が常に成り立ち恒等射 1A1 は同型射はエピかつモニックであるためモニック射である。
    (推移律)<A1 ; α1> ≦ <A2 ; α2> かつ <A2 ; α2> ≦ <A3 ; α3> ならば <A1 ; α1> ≦ <A3 ; α3> が成り立つ
    前提から α1 = α2・γ かつ α2 = α3・γ' となるモニック射 γ , γ' が存在する。よって α1 = α3・(γ'・γ)が成り立つが、モニック射の合成はモニックであるので(γ'・γ)はモニック射となる。
    よって ≦ は前順序となる。 さらに、新たに定義した上方対象の等価性から以下が言える
    (反対称律)<A1 ; α1> ≦ <A2 ; α2> かつ <A2 ; α2> ≦ <A1 ; α1> ならば <A1 ; α1> = <A2 ; α2> が成り立つ
    前提から α1 = α2・γ かつ α2 = α1・γ' となるモニック射 γ , γ' が存在し、γ・γ' = 1A2 かつ γ'・γ = 1A1 となる。すなわち、γ , γ' は同型射であり A1 \cong A2 。従って、<A1 ; α1> = <A2 ; α2>。
    結果 ≦ は半順序と言える。
  10. ^ 部分対象の場合同様、このエピ射 δ の向きを順序関係と考えても良い(ただし、向きは逆になる)。つまり
    δ : A2 "→" A1 <=> <β2 | A2> "≧" <β1 | A1
    というように考えるのである。このエピ射は層 (sheaf) の理論において(圏 Sets で)は制限写像 (restriction map) と呼ばれる。

参考文献[編集]

普遍的性質のための束論、普遍代数[編集]

  • Podo Pareigis (1970). Categories and functors. New York : Academic Press. 
  • 前田 周一郎 『束論と量子論理』 槙書店、1980年
  • Garrett Birkhoff (1979). Lattice Theory (3rd ed.). 
  • George Grätzer (1979). Universal Algebra (2nd ed.). 
  • George Grätzer (2003). General Lattice Theory (2nd ed.). 
  • George Grätzer (2011). Lattice Theory: Foundation. 

計算機科学のための圏論[編集]

史学的観点からのもの[編集]

関連項目[編集]

関連人物[編集]