モナド (圏論)
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圏論において、モナド（英：monad）もしくはトリプル（英：triple）とは、ドメインと余ドメインが同一の関手について自身との合成および縮約についてモノイドを連想させるものになるもののことである。
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導入：圏におけるモノイド [編集]
圏を C とし C を Cの対象、T を C の終対象とする。このとき圏 C におけるモノイド（monoid in C）とは三ツ組＜C、μ：C✕C → C、η：T → C＞のことである。
定義 [編集]
C を圏としたとき、C 上のモナドは関手 T : C → C と、次の2つの自然変換から構成される。すなわち、η : 1C → T （ここで 1C は C 上の恒等関手） 、および μ : T2 → T （ここで T2 は C から C への関手 T ∘ T ）である。
- μ ∘ Tη = μ ∘ ηT = 1T （結果としてこれは 自然変換 T → T となる。ここで 1T は T から Tへの恒等変換を表す）.
最初の公理はモノイドにおける結合則と、2つめの公理は単位元の存在と、それぞれ同種のものである。事実、C 上のモナドは、対象として C上の自己関手、射としてそれらの自然変換を取る圏 EndC 内のモノイドとして定義することもできる。ここでのモノイド構造 は、自己関手の合成から導かれる。
関連項目 [編集]
参考文献 [編集]
- Beno Eckmann, Myles Tierney, ed. (1966-67(reprint 2008)), Seminar on Triples and Categorical Homology Theory Lecture Notes in Mathematics, Volume 80
- Jonathan Mock Beck (1967), Triples, algebras and cohomology
- Podo Pareigis (1970). Categories and functors. New York : Academic Press.
- 大熊正 『圏論（カテゴリー）』 槙書店、1979年。
- Michael Barr, Charles Wells (1983), Toposes, Triples and Theories
- S.MacLane (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. 邦題：『圏論の基礎』
- Peter J. Huber (1961), Homotopy theory in general categories
- Peter J. Huber (1962), Standard Constructions in abelian categories
- Heinrich Kleisli (1962), Homotopy theory in abelian categories
- Heinrich Kleisli (1965), Every standard construction is induced by a pair of adjoint functors
- Samuel Eilenberg, John C. Moore (1965), Adjoint functors and triples
