米田の補題

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米田の補題(よねだのほだい、: Yoneda lemma)とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変hom関手 hom(A,-) : CSet から集合値関手 F : CSet への自然変換と、集合である対象 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。名称は米田信夫に因む。

概要[編集]

局所的に小さい(locally small)圏を C とする、すなわち各対象 A,B に対して hom(A,B) は集合であるとする。対象Aを固定するとき、C の各対象 B に対して集合(Set の対象)hom(A,B) を割り当てる関数は、C から Set への関手の対象関数として考えることができる。この関手は大抵 hA=hom(A,-) : CSet と表記され、共変hom関手(covariant hom functor)と呼ばれる。

ここで、 F : CSet を任意の集合値関手とし、hA から F へのすべての自然変換 θ : hA \dot{\rightarrow} F のクラス Nat(hA,F) [1]について考える。

米田の補題の骨子は、射 hA(f)=hom(A,f) : hom(A,A) → hom(A,B) の恒等射 1A に対する特性

hom(A,f)1A = f

である。

θ は自然変換であるので、対象 A において自然である。 すなわち、各対象 B への各射 f : A → B すべてに対して、自然性条件

θB・hA(f) = F(f)・θA

が成り立つ。両辺を 1A に作用させると、

(左辺)= (θB・hA(f))1A = θB(hA(f)1A) = θB(f)

(右辺)= (F(f)・θA)1A = F(f)θA(1A)

となる。したがって、各対象Bについて、

θB(f) = F(f)θA(1A)

となる。これは、任意の(C の射かつ Set の対象の要素である) f ∈ hom(A,B) = hA(B) に対して成り立つ。つまり θA(1A) は 各コンポーネント θB:hA(B) → F(B) を定め、自然変換 θ は要素 θA(1A) ∈ F(A) から完全に決定されることがわかる。また明らかに、θ ∈ Nat(hA,F) は、対象 A における自然変換のコンポーネント θA の恒等射 1A における値 θA(1A) ∈ F(A) を定める。

すなわち、全単射

y:Nat(hA,F) \cong F(A)

が存在する。この y は米田写像(Yoneda map)と呼ばれる。

圏の完備化[編集]

C を局所的に小さな圏とする。C から関手圏 SetC への関手h(-) : CopSetC

(対象関数) hA = hom(A,-) 共変hom関手
(射関数)  hfop:B→A = hom(A,-) \dot{\rightarrow} hom(B,-) 共変hom関手間の自然変換

グロタンディーク関手(Grothendieck functor)h[2]と呼ぶ。

ここで、共変hom関手の間の自然変換について

y:Nat(hA,hB) \cong hB(A) = homC(B,A)

が、米田の補題から成り立つ。ここで、関手圏の射が自然変換であったことから

Nat(hA,hB) = homBC(hA,hB)

とhom集合で書きなおすことができ、C のhom集合と BC のhom集合との間に全単射

homC(B,A) \cong homBC(hA,hB)

が存在することがわかる。すなわち、グロタンディーク関手 h は充満忠実(fully faithful)である。

脚注[編集]

  1. ^ 逆向きの Nat(F , hA) に関する定理は余米田の補題と呼ばれる。 MacLane(1998)
  2. ^ Encyclopedia of Mathematics : Grothendieck functor ただし、添字の上下はリンク先と便宜上、反対にした。
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関連項目[編集]

参考文献[編集]