アーベル圏
アーベル圏（アーベルけん、英語: Abelian category）とは、ホモロジー代数を展開することができる圏である。具体的には、正合（exact）かつ加法的（additive）な圏のことである。ソーンダース・マックレーンにより考案され[1]、Buchsbaum及びアレクサンドル・グロタンディークによってカルタン、アイレンバーグのホモロジー代数が展開可能な形に理論付けられた。
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定義 [編集]
圏 C が加法的（additive）かつ正合（exact）であるとき C をアーベル的（abelian）またはアーベル圏（abelian category）と呼ぶ。
なお、付加的に
- 任意の単射 u: A → B はある射 s: B → C の ker u となる。
などの公理を追加することもある。
加法的（additive） [編集]
詳細は「圏_(数学)#加法的（additive）」を参照
正合（exact） [編集]
詳細は「圏_(数学)#正合（exact）」を参照
加法圏の複積（biproduct in additive category） [編集]
半順序関係を定義できれば、その存在は別にして最小上界、最大下界を定義する事ができる。
部分対象間の半順序 [編集]
詳細は「圏論#上方対象と部分対象の半順序」を参照
半順序関係を持つ部分対象の最小上界（l.u.b.）または結び（join） [編集]
対象 A の部分対象 ＜A1 ; α1＞ , ＜A2 ; α2＞ の最小上界（または結び）＜A1;α1＞ ∨ ＜A2;α2＞ とは以下を満たすものをいう
- １. ＜A1 ; α1＞ ≦ （＜A1;α1＞ ∨ ＜A2;α2＞） かつ
- ＜A2 ; α2＞ ≦ （＜A1;α1＞ ∨ ＜A2;α2＞） ,
- ２. ＜A1 ; α1＞ ≦ x かつ ＜A2 ; α2＞ ≦ x を満たす任意の A の部分対象 x について、
- （＜A1;α1＞ ∨ ＜A2;α2＞） ≦ x が成り立つ。
圏の任意の対象について、その任意の２つの部分対象が結びを持つとき、圏は有限和（finite sum）または有限余積（finite coproduct）を持つという[2]。
結びと和（join and sum） [編集]
商対象間の半順序 [編集]
詳細は「圏論#下方対象と商対象の半順序」を参照
半順序関係を持つ商対象の最大下界（g.l.b.）または交わり（meet） [編集]
対象 A の商対象 ＜β1 | A1＞ , ＜β2 | A2＞ の最大下界（または交わり）＜β1|A1＞ ∧ ＜β2|A2＞ とは以下を満たすものをいう
- １.（＜β1|A1＞ ∧ ＜β2|A2＞）≦ ＜β1 | A1＞ かつ
- （＜β1|A1＞ ∧ ＜β2|A2＞）≦ ＜β2 | A2＞,
- ２. x ≦ ＜β1 | A1＞ かつ x ≦ ＜β2 | A2＞ を満たす任意の A の商対象 x について、
- x ≦ （＜β1|A1＞ ∧ ＜β2|A2＞） が成り立つ。
圏の任意の対象について、その任意の２つの商対象が交わりを持つとき、圏は有限積（finite product）を持つという。
交わりと積（meet and product） [編集]
複積（biproduct）：エピ射とモニック射の一意的合成 [編集]
正合圏のエピ-モニック分解（epi-monic factorization in exact category） [編集]
圏がゼロ対象を持ち
グロタンディークのアーベル圏第一公理：
- 圏の任意の射について核、余核が存在する
を満たすとする。
核、余核、像、余像 [編集]
- 核（kernel）
- 射 f : A → B の核（kernel）とは核対象 Ker(f) と核射 ker(f) : Ker(f) → A の組 ＜Ker(f) ; ker(f)＞ のことであり、以下の条件を満たすものである。
- f・ker(f) = 0
- f・u = 0 ならば、u = ker(f)・β を満たす射 β が唯一つ存在する
- 余核（cokernel）
- 射 f : A → B の余核（cokernel）とは余核対象 Coker(f) と余核射 coker(f) : B → Coker(f) の組 ＜coker(f) | Coker(f)＞ のことであり、以下の条件を満たすものである。
- coker(f)・f = 0
- v・f = 0 ならば、v = α・coker(f) を満たす射 α が唯一つ存在する
任意の射について核と余核が存在する場合、核と余核から像と余像を定義することができる。
- 像（image）
- 射 f : A → B の像（image）とは、f の余核射 coker(f) の核のことである。像は組 ＜Im(f) ; im(f)＞ と表記し、像対象 Im(f) 、像射 im(f) : Im(f) → B は以下を満たす
- Im(f) = Ker(coker(f))
- im(f) = ker(coker(f))
- 余像（coimage）
- 射 f : A → B の余像（coimage）とは、f の核射 ker(f) の余核のことである。余像は組 ＜coim(f) | Coim(f)＞ と表記し、余像対象 Coim(f) 、余像射 coim(f) : A → Coim(f) は以下を満たす
- Coim(f) = Coker(ker(f))
- coim(f) = coker(ker(f))
射の像経由分解 [編集]
核、余核、像、余像の定義から、
- coker(f)・ker(coker(f)) = coker(f)・im(f) = 0
- coker(f)・f = 0
以上から、
- f = im(f)・γ を満たす射 γ が唯一つ存在する
このような、像を経由する射の一意的分解
- f = im(f)・γ
を射 f の像経由分解（factors through the image of f）と呼ぶ。
射の余像経由分解 [編集]
像経由分解同様に、核、余核、像、余像の定義から、
- coker(ker(f))・ker(f) = coim(f)・ker(f) = 0
- f・ker(f) = 0
以上から
- f = δ・coim(f) を満たす射 δ が唯一つ存在する
このような、余像を経由する射の一意的分解
- f = δ・coim(f)
を射 f の余像経由分解（factors through the coimage of f）と呼ぶ。
像経由分解と余像経由分解の同一視：エピ-モニック分解 [編集]
ここで、
グロタンディークのアーベル圏第二公理
- 余像対象 Coim(f) から像対象 Im(f) への同型射 uf : Coim(f) → Im(f) がカノニカルに定まる
を仮定した場合、像経由分解と余像経由分解は同一視される。
エピ-モニック分解（epi-monic factorization）
- 射 f : A → B に対して
- f = im(f)・uf・coim(f)
- という一意的分解[3]が常に可能である。このようなエピ射 coim(f)、モニック射 im(f) [4]による射の一意的分解をエピ-モニック分解（epi-monic factorization）と呼ぶ[5]。
射に対して一意的なエピ-モニック分解が可能であることから、射の列 f, g が正合（exact）であればそれは一意的であることが保証される。
脚注 [編集]
- ^ S.MacLane (1950), Duality for groups
- ^ つまり和を持てば、圏は結び半束（join-semilattice）構造を内在することになる。同様の考えを押し進め、完備束を内在させたものや、ブール束（可補分配束）を内在させ古典論理を展開する事も考えられる。
- ^ ただし、経由する対象は同型を除いて一意的にしか定まらない。
- ^ 一般に核射はモニック射、余核射はエピ射となるため。
- ^ なお、アーベル圏第二公理によるエピｰモニック分解が可能であれば、圏は均整（balanced）となる。なぜならば、圏の射 f : A → B が全単射（bijection、双射）であるとき、Ker(f) と Coker(f) はゼロ対象と同型となることから coim(f) = 1A、im(f) = 1B となり、
- f = im(f)・uf・coim(f) = 1B・uf・1A = uf
関連項目 [編集]
参考文献 [編集]
- 岩井斉良 『ホモロジー代数入門』 サイエンス社、1978年。
- Ionel Bucur, Aristide Deleanu, Peter Hilton (1968). Introduction to the theory of categories and functors.
- Barry Mitchell (1965). Theory of Categories.
- A.Grothendieck (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique 英訳：Some aspects of homological algebra
- H.Cartan, S.Eilenberg, With an appendix by David A. Buchsbaum (1956). Homological algebra. Princeton University Press.
- 河田敬義 『ホモロジー代数I,II』 岩波書店、1977年。
- D.Buchsbaum (1954), Exact Categories and Duality
- Peter Freyd (1964), Abelian Categories
- S.MacLane (1950), Duality for groups
- S.MacLane (1965), Categorical algebra
- S.MacLane (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. 邦題：『圏論の基礎』
- ハワード・アントン 『アントンのやさしい線型代数』 山下 純一 訳、現代数学社、1979年。ISBN 4768700373。
- ギルバート ストラング 『線形代数とその応用』 産業図書、1978年。ISBN 4782805020。
- 齋藤 正彦 『線型代数入門』 東京大学出版会、1966年。ISBN 4130620010。
