ジグザグ補題

数学、特にホモロジー代数学におけるジグザグ補題（ジグザグほだい、英: zig-zag lemma）は、鎖複体のホモロジー群から成るある種の長完全列の存在を述べるものである。この結果は任意のアーベル圏で通用する。

補題の主張[編集]

任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、 $({\mathcal {A}},\partial _{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial _{\bullet }'),({\mathcal {C}},\partial _{\bullet }'')$ が以下の短完全列を満たす鎖複体だとする：

0\longrightarrow {\mathcal {A}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {C}}\longrightarrow 0

この系列は以下の可換図式の略記であるとする：

ここで各行は全て完全で、各列は全て鎖複体である。

ジグザグ補題は、境界写像（族）

\delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),

が存在して、次の系列を完全にすることができることを主張する：

$\alpha _{*}^{}$ と $\beta _{*}^{}$ は、通常のやり方で誘導されたホモロジー群の間の写像である。境界写像 $\delta _{n}^{}$ は以下の節で説明する。この補題の名称は、系列における写像が「ジグザグ」に走ることから来ている。不運な用語法のバッティングにより、ホモロジー代数には『蛇の補題』の名を持つ別の結果があるにもかかわらず、この命題（ジグザグ補題）はその名（蛇の補題）でも一般に知られている。蛇の補題を使うと、ジグザグ補題のここに記すものとは別の証明が得られる。

境界写像の構成[編集]

写像 $\delta _{n}^{}$ は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。 $c\in C_{n}$ を、 $H_{n}({\mathcal {C}})$ に属すある同値類の代表元とする。よって $\partial _{n}''(c)=0$ 。行方向の完全性より $\beta _{n}^{}$ は全射なので、 $\beta _{n}^{}(b)=c$ となる $b\in B_{n}$ が存在しなければならない。図式の可換性より、

\beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0

再び行方向の完全性より、

\partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \alpha _{n-1}

$\alpha _{n-1}^{}$ は単射だから、 $\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)$ を満たす $a\in A_{n-1}$ が一意的に存在する。これは輪体である。なぜなら $\alpha _{n-2}^{}$ は単射で、かつ $\partial ^{2}=0$ より