モノイド圏

数学におけるモノイド圏（モノイドけん、英語: monoidal category）あるいはテンソル圏（テンソルけん、英語: tensor category）は、（自然同型の違いを除いて結合的な双函手 ⊗: C × C → C と、⊗ について（再び自然同型の違いを除いて）左および右単位元となる対象 I を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証したコヒーレンス条件に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。

ベクトル空間、アーベル群、R-加群、R-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。

圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏 (enriched category) を定義する際にも使われる。

モノイダル圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においてトポロジカル秩序相の数学的な基盤を与え、ブレイドつきモノイダル圏は場の量子論やひも理論に応用をもつ。

形式的定義

モノイダル圏は

• テンソル積あるいはモノイド積と呼ばれる双函手 ⊗: C × C → C,
• 単位対象と呼ばれる対象 I,
• 以下の事実

  • テンソル積は結合的である。つまり成分が
    $\alpha_{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C \cong A\otimes(B\otimes C)$
    で与えられる、結合性と呼ばれる自然同型 α が存在する。
  • テンソル積は左単位元と右単位元を持つ。つまり、成分がそれぞれ
    $\lambda_A\colon I\otimes A\cong A,\quad \rho_A\colon A\otimes I\cong A$
    で与えられ、それぞれ左恒等性、右恒等性と呼ばれるふたつの自然同型 λ, ρ が存在する。
  によって表される特定のコヒーレンス条件に従うみっつの自然同型 α, λ, ρ

を備えた圏 C = (C, ⊗, I, α, λ, ρ) である。ここで、これらの自然変換に対するコヒーレンス条件とは次のようなものである。

• C の任意の対象 A, B, C, D に対し、図式
  
  は可換である。
• C の任意の対象 A に対し、図式
  
  は可換である。

これらの三つの条件から、そのような（すなわち、射がα, λ, ρ, 恒等射, テンソル積の組合せからなる）任意の図式が可換となることが従う（マックレーンのコヒーレンス定理）。

自然変換 α, λ, ρ が恒等変換であるようなモノイド圏は、強モノイド圏あるいは狭義のモノイド圏 (strict monoidal category) であるという。任意のモノイド圏は、ある強モノイド圏にモノイド同値である。

例

• 有限直積を持つ圏は、いずれも直積をモノイド積、終対象を単位対象としてモノイド圏の構造を持つ。これをしばしばデカルトモノイド圏と呼ぶ。
• 有限余積を持つ圏は、いずれも余積をモノイド積、始対象を単位対象としてモノイダル圏の構造を持つ。
• 可換環 R 上の加群の圏 R-Mod は加群のテンソル積 ⊗_R をモノイド積、R を単位対象としてモノイド圏を成す。
  • 特に、体 k 上のベクトル空間の圏 k-Vect は k を単位対象としてモノイド圏の構造を持つ。
  • 可換群の圏 Ab は整数からなる加法群 Z を単位対象としてモノイド圏の構造を持つ。
  • 可換環 R 上の代数の圏 R-Alg は R を単位対象としてモノイド圏の構造を持つ。
• 点付き位相空間の圏はスマッシュ積をモノイド積、点付き 0-次元球面（相異なる二点）を単位対象としてモノイド圏の構造を持つ。
• 圏 C 上の自己函手全体からなる圏は函手の合成をモノイド積、恒等函手を単位対象として強モノイド圏の構造を持つ。
• 最大元を持つ下半束は交わり(meet)をモノイド積、最大元を単位対象として強対称モノイド圏の構造を持つ。

諸概念

• 多くのモノイダル圏はブレイディングや対称性、閉包などの付加構造を持つ。
• モノイダル関手はモノイダル圏の間の関手であってモノイダル積を保つものであり、モノイダル自然変換はモノイダル積と互換性のあるモノイダル関手間の自然変換である。
• モノイダル圏は唯一の対象 □ を持つ双圏 B の射集合 B(□,□)とみなせる。

自由強モノイド圏

任意の圏 C に対して、C を含む自由強モノイド圏 Σ(C) が次のように構成される。

• Σ(C) の対象は C の対象の有限列 A₁, ..., A_n である。
• Σ(C) の対象 A₁, ..., A_m から B₁, ..., B_n への射は、m = n ならば射の列 f₁: A₁ → B₁, ..., f_m: A_m → B_m として定義され、かつ定義されるのはその場合に限る。
• Σ(C) の対象 A₁, ..., A_m と B₁, ..., B_n のテンソル積は列の結合A₁, ..., A_m, B₁, ..., B_n であり、同様にふたつの射のテンソル積も射の列の結合によって与えられる。

C を Σ(C) に写す作用素 Σ は Cat 上の強 2-モナドまで拡張することができる。

モノイド対象

モノイドを一般化した概念としてモノイド対象 (monoid object) が定義される。モノイド圏 C の対象 M と乗法と呼ばれる射 μ: M ⊗ M → M, 単位射と呼ばれる射 η: I → M に対して、図式

および

がともに可換になるとき、対象 M を圏 C におけるモノイド対象という。

集合の圏 Set をデカルト積でモノイド圏とみなしたとき、そのモノイド対象は通常の意味でのモノイドである。

強モノイド圏は小さい圏の圏 Cat のモノイド対象とみなせる（モノイド構造はデカルト積から導かれる）。

参考文献

• Joyal, Andre; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
• Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
• Kelly, G. Max (1982). Basic Concepts of Enriched Category Theory. London Mathematical Society Lecture Note Series No. 64. Cambridge University Press. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10.pdf. 
• Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. 日本語訳: 三好博之、高木理 『圏論の基礎』 シュプリンガーフェアラーク東京、2005年。ISBN 978-4431708728。