偏微分方程式

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偏微分方程式（へんびぶんほうていしき）とは未知関数の偏微分を含んだ等式で表現される微分方程式のことである。しばしば P.D.E. と略記される。これは偏微分方程式を意味する英語 partial differential equation からである。偏微分方程式の階数とは、導関数の中で最大の階数である。

目次

[編集] 概要

微分方程式は通常多くの解を持ち、しばしば解集合を制限する境界条件を付加して考える。常微分方程式の場合にはそれぞれの解が幾つかのパラメータの値によって特徴付けられるような族を解に持っているが、偏微分方程式については、パラメータは関数値をとると考えるほうが有用である。（砕けた言い方をすれば、これは解の集合がとても大きいということである。）このことは、ひどく過剰決定的な方程式系でない限りかなり一般に正しい。

偏微分方程式は、自然科学の分野で流体や重力場、電磁場といった場に関する自然現象を記述することにしばしば用いられる。これらの場というものは例えば、フライトシミュレーションであるとか、コンピュータグラフィックス、果ては天気予報などといったものを扱うときに重要な概念である。また、一般相対性理論や量子力学の基本的な方程式も偏微分方程式である。また、経済学においても重要な概念であり、特に計量経済学において多用される。

[編集] 記法と例

一般に未知関数 u の変数 x に関する偏微分を ux のように表す。

u_x = {\part u \over \part x}.
u_{xy} = {\part^2 u \over \part y\, \part x}.

[編集] ラプラス方程式

非常に重要で基礎的な偏微分方程式として、未知関数 u = u(x, y, z) に関して

uxx + uyy + uzz = 0

で定義される偏微分方程式をラプラス方程式と呼ぶ。これはまた、∇（ナブラ）や Δ（ラプラス作用素）といった微分作用素を用いて

{\nabla}^2 u = 0, \quad \triangle u = 0

のようにも書かれる。ラプラス方程式の解は調和関数と呼ばれ、重力場や静電場といった物理的なベクトル場のポテンシャルを与える。

ラプラス方程式は既知の関数 f(x, y, z) に関する微分方程式

uxx + uyy + uzz = f

に一般化される。この偏微分方程式をポアソン方程式という。これは質量の存在する重力場であるとか、電荷の存在する静電場であるとかいった場のポテンシャルを記述する方程式である。

[編集] 波動方程式

波動方程式は時間変数 t を含む未知関数 u(x, y, z, t) に関する偏微分方程式

utt = c2(uxx + uyy + uzz)

のことである。この方程式は光や音といった波を記述するもので、定数 c は波の速さを示している。より低い次元の現象として、ひもの振動であるとか太鼓の鼓面の振動などといったものもこの方程式に従う。波動方程式の解は基本的には正弦波を重ね合わせることによって得られる。

[編集] 熱伝導方程式

熱伝導方程式は与えられた領域において時間とともに変化する温度を記述する偏微分方程式で、

ut = k(uxx + uyy + uzz)

によって与えられる。解は時間の増加とともに大体均一に分布するように変化する。定数 k は物質の熱伝導性を示している。

[編集] 移流方程式

移流方程式(advection equation) は速度場 u = (u, v, w) における保存スカラー量 ψ の輸送を記述する。方程式は

ψt + (uψ)x + (vψ)y + (wψ)z = 0

である。

もし速度場 u が管状ベクトル場、すなわち ∇・u = 0 ならば方程式は

\psi_t+u\,\psi_x+v\,\psi_y+w\,\psi_z=0.

と簡略化される。

一次元定常移流方程式 ψt + u ψx = 0 （u は定数）は一般に豚小屋問題 (pigpen problem) と称される。

シュレーディンガー方程式は量子力学の核心となる偏微分方程式である。

これらの方程式はすべて、 与えられた線形作用素 A と関数 f によって、Au = f という形に表されるという意味で線型である。 重要な非線型方程式には、流体を記述するナビエ-ストークス方程式や一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式がある。

[編集] 偏微分方程式の解法

線型微分方程式は基底関数の集合に従って方程式を分解することにより一般的に解かれる。分解した個々の方程式の解の線形結合がもとの方程式の解である。変数分離法はいくつかの重要な特別の応用をもつ。

非線型な微分方程式には一般に通用する解法というものは存在せず、実際に多くの微分方程式がまったく解析的には解くことが出来ない。しかしながら、いくつかのタイプの方程式には使える方法というのがある。たとえば、ホモトピー原理は過少決定性の方程式系を解くための非常に強力な方法である。

ある場合には、偏微分方程式は解が、解の知られているある方程式の修正であると考えることで摂動解析によって解くことが出来る。別な方法として、単純な有限差分スキームから複雑なマルチグリッド法や有限要素法に至るまでの数値解析の手法が挙げられる。 科学や工学における多くの興味深い問題は高性能のスーパーコンピュータを用いてこのような方法で解かれる。

fill in: ディリクレ－ノイマン境界、双曲的/放物的/楕円的変数分離、フーリエ解析、グリーン関数

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