積分因子

積分因子 (せきぶんいんし、integrating factor) とは微分方程式の解法に用いられる関数である。常微分方程式の解法で最もよく用いられ、積分因子を掛けることにより不完全微分から完全微分（積分するとスカラー場を与える）を得ることができる。特に熱力学の分野で用いられ、そこではエントロピーを完全微分にするために温度が積分因子となる。

1階の線形常微分方程式の解法

つぎのような常微分方程式を考える。

$y'+P(x)y = Q(x)\quad\quad\quad (1)$

ある関数$M(x)$を (1) 式の両辺に掛けると

$M(x)y' + M(x)P(x)y = M(x)Q(x)\quad\quad\quad (2)$

となる。適当な$M(x)$を選べば左辺に積の微分の公式が適用できて

$(M(x)y)' = M(x)Q(x)\quad\quad\quad (3)$

となるから、(3) 式を積分して

$y M(x) = \int Q(x) M(x)\,dx$

となる。これを$y$について解くと

$y = \frac{\int Q(x) M(x)\, dx}{M(x)}\,$

となる。 　つぎに$M(x)$を具体的に求める。(3) 式の左辺に積の微分の公式を適用すると

$M'(x) y + M(x) y' = M(x) y' + M(x) P(x) y \quad\quad\quad$

となり、$M(x)$がつぎの微分方程式

$M'(x) = M(x)P(x) \quad\quad\quad (4)\,$

$\frac{M'(x)}{M(x)} = P(x) \quad\quad\quad (5)$

を満たすことがわかる。ところで

$F(x)=e^{G(x)}$

なる$F(x)$、$G(x)$について

$F'(x)=G'(x)e^{G(x)}$

$F'(x)=G'(x)F(x)$

が成り立つ。よって

$P(x) = G'(x)$

とおくと、(5) 式が解けて

$\int P(x)\,dx = G(x)$

$e^{\int P(x)\,dx} = e^{G(x)}$

$e^{\int P(x)\,dx} = M(x)$

となる。この$M(x)$が積分因子と呼ばれるものである。

外部リンク

• Joakim Munkhammar, "Integrating Factor" - MathWorld.（英語）