積分因子

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積分因子 (せきぶんいんし、: integrating factor) とは微分方程式の解法に用いられる関数である。常微分方程式の解法で最もよく用いられ、積分因子を掛けることにより不完全微分から完全微分(積分するとスカラー場を与える)を得ることができる。特に熱力学の分野で用いられ、そこではエントロピーを完全微分にするために温度が積分因子となる。

2変数の方程式の場合には積分因子は必ず存在する[1]

積分因子を用いた常微分方程式の解法の例[編集]

次のような1階の線形常微分方程式を考える。

y'+P(x)y = Q(x)\quad\quad\quad (1)

この方程式に対し、適当な積分因子M(x)を (1) 式の両辺に掛け、左辺に積の微分の公式を適用できるようにすると、

M(x)y' + M(x)P(x)y = M(x)Q(x)\quad\quad\quad (2)
(M(x)y)' = M(x)Q(x)\quad\quad\quad (3)

となるから、(3) 式を積分して

y M(x) = \int  Q(x) M(x)\,dx

となり、これよりもとの微分方程式の解として

y = \frac{\int  Q(x) M(x)\, dx}{M(x)}\,

が得られる。

次に積分因子M(x)を具体的に求める。(2), (3) 式それぞれの左辺が等しくなるようにM(x)をとっていることから、

M'(x) y + M(x) y' = M(x) y' + M(x) P(x) y \quad\quad\quad

となり、M(x)がつぎの微分方程式

M'(x) = M(x)P(x) \quad\quad\quad (4)\,

を満たすことがわかる。この式を変形すると、

\frac{M'(x)}{M(x)} = P(x) \quad\quad\quad (5)\,
(\ln M(x))' = P(x)

したがって

M(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right)

となる。

脚注[編集]

  1. ^ 和達三樹; 十河清; 出口哲生 『ゼロからの熱力学と統計力学』 岩波書店、2005年、26頁。ISBN 4-00-006700-1 

外部リンク[編集]