双曲型偏微分方程式

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数学の分野における、n 階の双曲型偏微分方程式(そうきょくがたへんびぶんほうていしき、: hyperbolic partial differential equation)とは、大まかには、n−1 階微分まで良設定初期値問題を含む偏微分方程式のことを言う。より正確には、非特性的超曲面に沿った任意の初期データに対して局所的に解くことの出来るコーシー問題のことを言う。力学に現れる多くの方程式は双曲型であるため、その研究は本質的に重要かつ時代の要求に即したものとして、興味の注がれるものである。双曲型方程式の代表例として、波動方程式が挙げられる。空間が一次元の場合では、その方程式は

u_{tt} - u_{xx} = 0\,

として与えられる。この方程式には、もし u とその一階微分が(十分に滑らかな性質を備えた)初期直線 t = 0 上で任意に特徴付けられる初期データであるなら、すべての時間に対して方程式の解が存在する、という性質がある。

双曲型方程式の解は、「波状」(wave-like)である。双曲型微分方程式の初期データにある擾乱(disturbance)が加えられたとしても、空間のすべての点がその影響を同時に受けることはない。固定された時間座標について、そのような擾乱の伝播速度は有限である。そのような擾乱は、方程式の特性曲線英語版に沿って移動する。この特徴は、双曲型方程式を楕円型方程式放物型方程式と区別するものである。楕円型や放物型の方程式の初期(あるいは境界)データに対して与えられる摂動は、本質的に領域内のすべての点に同時に影響を与える。

双曲性の定義は、本質的には定性的(qualitative)なものであるが、考えている微分方程式の種類に依存して、それを判断するための正確な基準が存在する。線型微分作用素に対して十分に開発された定理は、ラース・ガーディン英語版による超局所解析の研究に見られる。非線型微分方程式は、その線型化がガーディンの意味で双曲型であるなら、双曲型である。保存則系に現れる一階の方程式系に対しても、また幾分か異なる定理が存在する。

定義[編集]

偏微分方程式がある点 P において双曲型であるとは、P を通る非特性的超曲面上の任意の初期データに対して、そのコーシー問題P のある近傍において一意に解くことが出来ることを言う[1]

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 Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + \text{(lower order terms)} = 0 \,

の形で記述され、

 B^2 - 4 A C > 0 \,

を満たすような任意の方程式は、変数の線型変換によって、波動方程式へと変換することが出来る。ただし、低階の項(lower order terms)が残るが、それらは方程式の定性的な理解においては本質的ではない[2]。この定義は、平面の双曲線の定義と類似のものである。

一次元の波動方程式

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0

は、双曲型方程式の一例である。二次元および三次元の波動方程式も同様に、双曲型偏微分方程式の範疇に含まれる。

このタイプの二階の双曲型偏微分方程式は、一階の微分方程式からなる双曲系(hyperbolic system)へと変換出来る場合もある[3]

偏微分方程式の双曲系[編集]

\vec x \in \mathbb{R}^d とし、s 個の未知関数  \vec u = (u_1, \ldots, u_s) ,  \vec u =\vec u (\vec x,t) に対して、次の一階偏微分方程式系を考える:

(*) \quad \frac{\partial \vec u}{\partial t}
 + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
 \vec {f^j} (\vec u) = 0.

ここで \vec {f^j} \in C^1(\mathbb{R}^s, \mathbb{R}^s), j = 1, \ldots, d連続的微分可能な関数であり、一般的には非線型である。

今、各 \vec {f^j} に対して、s \times s 行列

A^j:=
\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1^j}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_1^j}{\partial u_s} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots \\ 
\frac{\partial f_s^j}{\partial u_1} & \cdots &
\frac{\partial f_s^j}{\partial u_s}
\end{pmatrix}
,\text{ for }j = 1, \ldots, d

を定義する。

この時、系 (*)双曲的であるとは、すべての \alpha_1, \ldots, \alpha_d \in \mathbb{R} に対し、行列 A := \alpha_1 A^1 + \cdots + \alpha_d A^d対角化可能であり、その固有値がただ一つであることを言う。

行列 A が「異なる」実固有値を持つ場合には、対角化可能である。この場合、系 (*)厳密に双曲的(strictly hyperbolic)であると言う。

双曲系と保存則[編集]

双曲系と保存則には関連がある。一つの未知関数 u = u(\vec x, t) についての一つの微分方程式からなる双曲系を考える。この場合、系 (*) は次の形で記述される:

(**) \quad \frac{\partial u}{\partial t}
 + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
 {f^j} (u) = 0.

今、u流束 \vec f = (f^1, \ldots, f^d) を備えるある量であると考えられる。この量が保存されることを示すために、系(**) を領域 \Omega について積分する:

\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} d\Omega + \int_{\Omega} \nabla \cdot \vec f(u) d\Omega = 0.

u\vec f が十分に滑らかな関数であるなら、発散定理を使い、また積分と \partial / \partial t の順序の交換を行うことで、一般的な形での量 u についての保存則

\frac{d}{dt} \int_{\Omega} u d\Omega  + \int_{\partial\Omega} \vec f(u) \cdot \vec n d\Gamma = 0

を得ることが出来る。この式は、領域 \Omega 内の u の時間変化の割合が、境界 \partial\Omega に沿った正味の流束と等しいことを意味している。これは単一の等式であるため、u\Omega 内で保存されていると結論付けることが出来る。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Rozhdestvenskii
  2. ^ Evans 1998, p.400
  3. ^ Evans 1998, p.402

参考文献[編集]

外部リンク[編集]