波動方程式

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波動方程式(はどうほうていしき、wave equation)とは、

\frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}

の形状をとる定数係数二階線型偏微分方程式の事を言う[1]。ただし、u = u(t,x,y,z) は波動方程式を満たす未知関数、s は定数[2]とする。波動方程式は振動、音、光、電磁波など振動・波動現象を記述するにあたって基本となる方程式である。

概要[編集]

音の伝播や電磁波など振動・波動現象は多々存在する。ここで時刻 t におけるある位置の振動の変位を表す未知関数を u 、振動の位相速度を s とすると、u は往々にして波動方程式

\frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}

を満たす[3]

なお、記述される波動現象によって u の座標変数は変わってくるため、それに伴い波動方程式の形状も異なってくる。

  • 1次元の波動方程式(主な現象:弦の振動 [4]
\frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
  • 2次元の波動方程式(主な現象:膜の振動 [5]
\frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

振動・波動現象と呼ばれるものは一般に媒質(弦、膜、空気、水など)の振動現象を指し主に流体力学の扱うところである。ただし、例外として電磁波のみは、媒質の振動現象と同じく波動方程式で記述されるが、媒質が存在せず正確に取り扱うには特殊相対性理論と呼ばれる理論を考慮する必要がある。他の流体力学的振動・波動現象については考慮する必要は無い。

波動方程式の解法[編集]

  • ダランベールの解法(1次元のみ)
  • 変数分離法

関連項目[編集]

関連人物[編集]

脚注[編集]

  1. ^ 大石(1989) p.126
  2. ^ 波動現象としては s は波動の位相速度(phase velocity)となる。
  3. ^ ラプラス作用素 \Delta \equiv \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2} を用いて
    \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u
    と記述される場合も多い。さらにダランベール演算子
     \square_s \equiv \Delta - {1 \over s^2} {\partial^2 \over {\partial t^2}}
    を用いて
     \square_s u = 0
    と記述されることもある。
  4. ^ 恒藤(1983)
  5. ^ 恒藤(1983)

参考文献[編集]

  • 恒藤 敏彦 『弾性体と流体』 岩波書店〈物理入門コース 8〉、1983年ISBN 4000076485
  • 際本 泰士 『振動・波動論講義―物理実験を取り入れて』 コロナ社、2005年ISBN 4339066095
  • 大石 進一 『フーリエ解析』 岩波書店〈理工系の数学入門コース 6〉、1989年ISBN 4000077767