波動方程式

波動方程式（はどうほうていしき、Wave equation）は、波（波動）を記述するための微分方程式（最も基本的な二階の双曲型偏微分方程式の一つ）である。まず座標と時間に関しての未知の関数 u を考える。

$u = u(x_1, x_2, \ldots, x_n, t)$

ここで、x₁, x₂, ...,x_n は、n 次元の座標、t は時間である。この u に関する以下の式；

${1 \over s^2} {\partial^2 u \over {\partial t^2} } = \triangle u$

が波動方程式である。s は、s > 0 の適当な係数であり、波動方程式で扱う波の伝播する速さに相当する。Δ はラプラシアンで、

$\triangle = { \partial^2 \over {\partial x_1^2} } + { \partial^2 \over {\partial x_2^2} } + \cdots + { \partial^2 \over {\partial x_n^2} }$

である。上の波動方程式において、

$\square = \triangle - {1 \over s^2} {\partial^2 \over {\partial t^2}}$

のように、ラプラシアンΔをミンコフスキー空間に拡張した、ダランベールの演算子（ダランベルシアン）を使うと波動方程式は、

$\square u = 0$

と表現できる。この波動方程式を使って、波（波動）や電磁波を記述することができる。尚、関数 u を座標と時間に関して変数分離すると、ヘルムホルツ方程式、

$\triangle u + \kappa^2 u = 0$

が得られる。κ² は、κ² > 0 の適当な係数である。この方程式を、還元された波動方程式と言うことがある。

[編集] 量子力学での波動方程式

時間を含まないシュレーディンガー方程式は、

$\triangle \Psi + {2m \over {\hbar^2} } (E - V) \Psi = 0$

であり、これは先の還元された波動方程式と同じ形をしている。ここで、Ψ（プサイ）は波動関数、m はある質点（電子などと考えてもよい）の質量、E は固有値、V はポテンシャルである。また、 $\hbar = h / 2 \pi$ であり、h はプランク定数である。

また、光子（→電磁波）を考えると光子のエネルギー E は、E = cp であり（c は光速、p は運動量）、E² = c²p²として、E と p を量子化すると（q を座標とする）、

$E^2 = c^2 p^2 \to \left( i \hbar {\partial \over {\partial t}} \right)^2 = c^2 \left( - i \hbar {\partial \over {\partial q }} \right)^2$

となり、両辺に光子に関しての波動関数 Φ（ファイ）を置くと、

$- \hbar^2 { \partial^2 \Phi \over {\partial t^2} } = - c^2 \hbar^2 {\partial^2 \Phi \over {\partial q^2 } }$

となる。余計な係数を落とすと、

${1 \over {c^2}} {\partial^2 \Phi \over {\partial t^2} } = {\partial^2 \Phi \over {\partial q^2 } }$

を得る。これは波動方程式となっている。一方、任意の質点（普通は電子）を出発点とする場合、E = p²/2m を量子化することとなり、これからは時間を含むシュレーディンガー方程式が出てくる。この式では時間の微分が二階ではなく、一階微分になっている。