発散定理

発散定理（はっさんていり、divergence theorem）は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。ガウスの定理とも呼ばれる。1762年にラグランジュによって発見され、その後ガウス（1813年）、グリーン（1825年）、オストログラツキー（1831年）によってそれぞれ独立に再発見された 。オストログラツキーはまたこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。

定理の内容

数式を用いて述べると次のようになる。まず、R³ で定義された滑らかなベクトル場 $\boldsymbol{\mathit{F}}=(F_1,F_2,F_3)$ に対して F の発散 div F を

$\bold{div}\boldsymbol{\mathit{F}}= \frac{\partial\mathit{F}_1}{\partial x}+ \frac{\partial\mathit{F}_2}{\partial y}+ \frac{\partial\mathit{F}_3}{\partial z}$

と定義する。発散は∇(ナブラ;nabla)を用いると,

$\bold{div}\boldsymbol{\mathit{F}}=\boldsymbol{\mathit{\nabla}}\cdot\boldsymbol{\mathit{F}}$

と表され,ベクトルの内積(ドット積)となる.

V を R³ において滑らか（ここでは C¹ 級でよい）な境界 ∂V をもつ有界な領域（= 連結開集合）とし、F を V の閉包で定義されている滑らかなベクトル場とすると、

$\iiint_V \bold{div} \boldsymbol{\mathit{F}}\,dxdydz= \iint_{\partial V} \boldsymbol{\mathit{F}}\!\cdot\!\boldsymbol{\mathit{n}}\,dS$

が成り立つ。ここで、n は V の外向き単位法ベクトルとする。なお、定理が成り立つためには ∂V が区分的に C¹ 級であれば十分である。

この定理は div という演算が発散（あるいは湧出量）と呼ばれる所以でもある。右辺は領域 V から流れ出す量であり、それが全ての発散を合わせたものに等しくなっている。

この定理は、一般的なストークスの定理から導くことができる。

一般化されたストークスの定理との対応

グリーンの定理は、以下のように一般化されたストークスの定理において、2次微分形式のωを考えた場合に相当する。

$\int_{\partial V} \omega = \int_V d\omega$

$\omega= F_1dy \wedge dz + F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy ,\quad d \omega = \biggl ( \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z} \biggr ) dx \wedge dy \wedge dz$

応用

発散定理を電磁気学に応用して、電荷から湧き出す電場についてのガウスの法則を数学的に記述できる（⇒マクスウェルの方程式）。

$\oint_S \mathrm{d} \boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{E} = \frac{Q}{\varepsilon _0} = \frac{1}{\varepsilon _0} \int_V \mathrm{d} V \rho$

$\mathrm{\bold{div}} \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon _0}$

参考文献

• 太田浩一『マクスウエル理論の基礎　相対論と電磁気学』東京大学出版会（2002年）

関連項目

• グリーンの定理
• ストークスの定理