連鎖律

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微分法において連鎖律(れんさりつ、: chain rule)とは、複数の関数が合成された合成関数を微分するとき、その導関数がそれぞれの導関数の積で与えられるという関係式のこと。

概要[編集]

f g を微分可能な関数とするとき、合成関数 f \circ gの導関数に対して成り立つ関係式

 (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)

を、連鎖律という。ライプニッツの記法では

\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}

となる。積分法においては、置換積分に対応する。

部分的証明[編集]

微分の定義より


\begin{align}
(f \circ g)'(x_0) ~ &= \lim_{x \rightarrow x_0} {(f \circ g)(x) - (f \circ g)(x_0) \over x - x_0} \\
 &= \lim_{x \rightarrow x_0} {f(g(x)) - f(g(x_0)) \over x - x_0} \\
 &= \lim_{x \rightarrow x_0} \left [ {f(g(x)) - f(g(x_0)) \over g(x) - g(x_0)} \cdot {g(x) - g(x_0) \over x - x_0}\right ] \\
 &= \lim_{x \rightarrow x_0} {f(g(x)) - f(g(x_0)) \over g(x) - g(x_0)} \cdot \lim_{x \rightarrow x_0} {g(x) - g(x_0) \over x - x_0} \\ 
 &= f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)
\end{align}

となるが、x_0 のどれだけ近いところにも g(x)=g(x_0) となる x が存在する場合(例えば g(x)=0 という定数関数の場合)には、この証明は誤りである。

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例1[編集]

 y = \log {u} \,
 u = \cos {x} \,

y x について微分する。

 \frac{dy}{dx} \,

それぞれの導関数を求める:

 \frac{dy}{du} = \frac{1}{u} \,

 \frac{du}{dx} = - \sin{x} \,

連鎖公式により合成すると

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

は、

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (- \sin{x}) = \frac{- \sin{x}}{u} = \frac{- \sin{x}}{\cos {x}} = -\tan{x}

となる。

また、別の方法として関数を合成すると

 y = \log {u} \,
 u = \cos {x} \,

これは

 y = \log ({\cos {x}}) \,

となる。

 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} = -\tan{x}

となり、同じ結果となる。

関連項目[編集]