連鎖律

微分法において連鎖律（れんさりつ、英: chain rule）とは、複数の関数が合成された合成関数を微分するとき、その導関数がそれぞれの導関数の積で与えられるという関係式のこと。

概要

$f$、$g$を微分可能な関数とするとき、合成関数$f \circ g$の導関数に対して成り立つ関係式

$(f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$

を、連鎖律という。ライプニッツの記法では

$\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}$

となる。積分法においては、置換積分に対応する。

証明

微分の定義より

$\begin{align} (f \circ g)'(x_0) ~ &= \lim_{x \rightarrow x_0} {(f \circ g)(x) - (f \circ g)(x_0) \over x - x_0} \\ &= \lim_{x \rightarrow x_0} {f(g(x)) - f(g(x_0)) \over x - x_0} \\ &= \lim_{x \rightarrow x_0} \left [ {f(g(x)) - f(g(x_0)) \over g(x) - g(x_0)} \cdot {g(x) - g(x_0) \over x - x_0}\right ] \\ &= \lim_{x \rightarrow x_0} {f(g(x)) - f(g(x_0)) \over g(x) - g(x_0)} \cdot \lim_{x \rightarrow x_0} {g(x) - g(x_0) \over x - x_0} \\ &= f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0) \end{align}$

例

例1

$y = \log {u} \,$

$u = \cos {x} \,$

$y$ を$x$について微分する。

$\frac{dy}{dx} \,$

それぞれの導関数を求める:

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} \,$

と

$\frac{du}{dx} = - \sin{x} \,$

連鎖公式により合成すると

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

は、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (- \sin{x}) = \frac{- \sin{x}}{u} = \frac{- \sin{x}}{\cos {x}} = -\tan{x}$

となる。

また、別の方法として関数を合成すると

$y = \log {u} \,$

$u = \cos {x} \,$

これは

$y = \log ({\cos {x}}) \,$

となる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} = -\tan{x}$

となり、同じ結果となる。

関連項目

• 微分
• 偏微分
• 置換積分