一般のライプニッツの法則

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数学微分積分学における一般のライプニッツの法則(いっぱんのライプニッツのほうそく、: general Leibniz rule[1]一般ライプニッツ則)は、ゴットフリート・ライプニッツの名にちなむ、積の法則ライプニッツの法則、ライプニッツの規則としても知られる)の一般化で、fgn 回微分可能な関数とするとき、それらの積 fgn 階微分が

(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}

で与えられることを述べるものである。ここで {n \choose k}二項係数である。

この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで、証明できる。

多重指数記法を使い、より一般に

\partial^\alpha (fg) = \sum_{ \{\beta\,:\,\beta \le \alpha \} } {\alpha \choose \beta} (\partial^{\alpha - \beta} f) (\partial^{\beta} g)

の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、PQ を(係数が十分多くの回数微分可能であるような)微分作用素とし、R = P \circ Q とするとき、R もまた微分作用素であり、R の表象が

R(x, \xi) = e^{-{\langle x, \xi \rangle}} R (e^{\langle x, \xi \rangle})

で与えられるから、ここに直接計算によって

R(x, \xi) = \sum_\alpha {1 \over \alpha!} \left({\partial \over \partial \xi}\right)^\alpha P(x, \xi) \left({\partial \over \partial x}\right)^\alpha Q(x, \xi)

を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間にはの構造が入る。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

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