ヤコビ行列

ヤコビ行列（やこびぎょうれつ、英: Jacobian matrix）または関数行列（かんすうぎょうれつ、独: Funktionalmatrix）は、一変数スカラー値関数における接線の傾きを、多変数ベクトル値関数に対して拡張、高次元化したものである。多変数ベクトル値関数 f のヤコビ行列は、f の各成分の各軸に関する方向微分を並べてできる行列で

$J_f = D_x f = \frac{\partial f}{\partial x} = \begin{pmatrix} \cfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \cfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$

のように表される。

ヤコビ行列の行列式は、ヤコビ行列式（英: Jacobian determinant）あるいは単にヤコビアン (Jacobian) と呼ばれる。ヤコビアンは変数変換による面積や体積の変化の比率を符号つきで表すもので、しばしば重積分の変数変換に現れる。

これらは多変数微分積分学、多様体論などで基本的な役割を果たすほか、最適化問題等の応用分野でも重要な概念である。

定義

D を n 次元ユークリッド空間 Rⁿ の開集合とし、f を D 上で定義され、R^m に値を取る関数とする。f が D 上の点 p で微分可能であるとは、

$\lim_{x\to p}\cfrac{f(x)-(A(x-p)+f(p))}{\|x- p\|} =0$

なる (n, m)-型行列 A が存在することであるが、このとき、 A を f の p におけるヤコビ行列と呼び、しばしば J_f(p) などで表す。

f が D 全域で微分可能な場合、p に対して J_f(p) を対応させる写像

$J_f\colon p \mapsto J_f(p)$

についても、同様にヤコビ行列と呼ぶ。

なお、R^m から R への射影 π_i (i = 1, 2, ..., m) について

$f_i := \pi_i \circ f$

とすると、点 x = p におけるヤコビ行列 J_f (p) は

$\bigg(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\bigg|_{x=p}\bigg)_{i=1,\ldots,m \atop j=1,\ldots,n}$　

と等しいことが知られている。

m = n の場合、ヤコビ行列は正方行列となり、その行列式を考えることができる。ヤコビ行列の行列式 |J_f| をヤコビ行列式、関数行列式あるいは簡単にヤコビアンと呼ぶ。ヤコビ行列式 |J_f| は

$\bigg|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_n)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}\bigg|, \quad \cfrac{D(y_1, \ldots, y_n)}{D(x_1, \ldots, x_n)}$

のような記号で表記されることもある。

性質

ヤコビ行列は、実関数に関する微分係数および導函数の自然な拡張となっている。つまり、n = m = 1 のとき、(1, 1)-型行列と実数とを同一視することにより、ヤコビ行列の概念は微分係数および導函数の概念に一致する。

点 p におけるヤコビ行列 J_f(p) は x が p に十分近いとき

$f(x)=f(p)+J_f(p)(x-p)+o(\|x-p\|)$

が成立する（ここで o はランダウの記号）という意味で f の p における一次近似であり、接空間の間の線型写像とみなせる。この線型写像の合成は行列積と等価であり、 g が f(p) を含む領域 E から R^l への関数であり、f(p) において微分可能であるとき、

$J_{g \circ f}(p) = J_g(f(p)) \cdot J_f(p)$

が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。

逆関数の定理

ここでは、f が D 上でC^k-級 (k ≥ 1) であるとする。

m = n のとき、f の p におけるヤコビ行列は正方行列であるが、ヤコビ行列が正則行列である場合、f は 局所的に全単射となり、その逆関数は C^k 級であり、f (p) でのヤコビ行列は J_f (p) の逆行列となる。 つまり、 p を含むある領域 D′ について、f の D′ への制限

$h := f|_{D'}\colon D' \to f(D')$

が C^k 級全単射で、

$J_{h^{-1}}(h(p)) = (J_h(p))^{-1}$

となる。

一方、 J_f (p) が退化している（階数が落ちる）場合には、以下の二つの状況がありうる。

• f は p のまわりで局所的に全単射だが、逆関数が f (p) にて微分不可能 (例: x³は 0 付近で全単射だが、逆関数は 0 で微分不可能)
• f は p のまわりで局所的にも全単射でない (例: x² は 0 付近で局所的にも全単射でない)

この時、 p を特異点、または臨界点という。ヤコビ行列及びヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。

多様体論におけるヤコビ行列

詳細は「接ベクトル空間」を参照

ここでは、多様体間の写像のヤコビ行列について述べる。

M, N をそれぞれ m 次元、 n 次元の C^k (k ≥ 1) 多様体で、f をその間の C^k 級写像だとする。 このとき、f の点 p ∈ M での微分 df_p は、点 p における M の接ベクトル空間 T_pM と、点 f(p) における N の接ベクトル空間 T_f(p)N の間の線型写像となる。p のまわりの M の局所座標 {x₁, ..., x_m} および f (p) のまわりの N の局所座標 {y₁, ..., y_n} を定めると、それぞれの接ベクトル空間における基底が定まる。 この基底に関する df_pの表現行列を f の p におけるヤコビ行列と呼ぶ。

写像の微分は局所座標に依存しないが、ヤコビ行列は局所座標の選び方に依存する。 ただし、同じ写像の、局所座標の選び方を変えたヤコビ行列同士は互いに共役である。

この定義は、冒頭の定義の拡張となっている。 M = R^m (の開集合), N = Rⁿ とし、それぞれに自明な局所座標を選ぶことによって、冒頭の定義と一致する。

極座標系に関する具体例

ここでは、いくつかの極座標系から直交座標系への座標変換で、ヤコビアンがどのようになるか述べる。

円座標

円座標は、直交座標への座標変換$(x , y) = f(r, \theta) = (r cos(\theta), r sin(\theta))$を与えるから、ヤコビアンは

$J_f = \left| \frac{\partial (x , y)}{\partial (r, \theta)} \right| = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}= r$

となる。従って、特異点は$r = 0$となる点、即ち $(0, \theta)$である。これは直交座標での$(0, 0)$を表す。

円柱座標

円柱座標は、直交座標への座標変換 (x, y, z ) = f (r, θ,z ) = (r cos θ, r sin θ, z ) を与えるから、ヤコビアンは

$|J_f| =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}= r$

となる。従って、円座標のときと同じく、特異点は r = 0 となる点、即ち (0, θ, z) である。これは直交座標での (0, 0, z) すなわち z-軸を表す。

球座標

球座標は、直交座標への座標変換 (x, y, z ) = f (r, θ, φ) = (r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ) を与えるから、ヤコビアンは

$|J_f| =\begin{vmatrix} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{vmatrix}= r^2 \sin\theta$

となる。従って、特異点は r = 0 または sin θ = 0 となる点、即ち (0, θ, φ) と (r, 0, φ)、(r, π, φ) である。これは直交座標での (0, 0, 0), (0, 0, r), (0, 0, −r) すなわち z-軸を表す。

参考文献

• Michael Spivak (著), 齋藤 正彦 (訳)「多変数の解析学―古典理論への現代的アプローチ」 東京図書; 新装版版 (2007/04)
• 岩堀 長慶, 他　「微分積分学」裳華房 (1993)
• 島 和久 (著)「多変数の微分積分学」近代科学社 (1991/09)
• Frank W. Warner; "Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups (Graduate Texts in Mathematics)"Springer New York (2010)
• 松本幸夫, 「多様体の基礎」 東京大学出版会