コーシーの冪根判定法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

コーシーの冪根判定法(―のべきこんはんていほう、root test) とは、無限級数収束性を判定する方法の一つである。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの冪根判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する。

C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}

("lim sup" は上極限を意味する)とするとき、C < 1 であれば級数は収束し、C > 1 であれば発散する。C = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数のc を中心とする冪級数

\sum_{n=0}^\infty a_n (z-c)^n

係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/C である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。

証明[編集]

証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての n\geq N に対し \sqrt[n]{a_n}<k<1 ならば、a_n<k^n<1 が成立する。比較判定法より、幾何級数 \sum_{i=N}^\infty k^i が収束すれば、\sum_{i=N}^\infty a_n もまた収束する。

もし、\sqrt[n]{a_n}>1 ならば、\sum_{i=N}^\infty 1 と比較して級数は発散する。an が非正である場合の絶対収束性は、\sqrt[n]{|a_n|} を用いれば同様にして証明できる。

関連記事[編集]

参考文献[編集]

  • Knopp, Konrad (1956). “§ 3.2”. Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0486601536. 
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). “§ 2.35”. A Course in Modern Analysis (fourth edition ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521588073. 

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Proof of Cauchy's root testの本文を含む