楕円型偏微分方程式

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数学の分野における楕円型偏微分方程式(だえんがたへんびぶんほうていしき、: elliptic partial differential equation)とは、一般的な二階の偏微分方程式

Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0\,

で次の条件を満たすもののことを言う:

B^2 - AC < 0.\

(ここで、暗に u_{xy}=u_{yx} を意味している)。

円錐断面二次形式を分類する際に判別式 B^2 - 4AC を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。しかし、偏微分方程式に対する判別式はそれとは異なり、B^2 - AC で与えられることが慣例となっている(詳細については「二階の方程式(英語版)」を参照されたい)。前述の形式は、平面上の楕円の方程式

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0

と同様のものである。この方程式は(u_{xy}=u_{yx}=0 である場合には)

Au_{xx} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0

および Ax^2 + Cy^2 + \cdots = 0 へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式 {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-1=0 に類似している。

一般的に、n 個の独立変数 x1, x2 , ..., xn が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される:

L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\part^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad \text{ + (lower-order terms)} =0 \,,

ここで、L は楕円型作用素英語版である。

例えば、三次元 (x,y,z) においては

a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + d\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial z} + e\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}  \text{ + (lower-order terms)}= 0,

が得られる。ここで、u が完全分離可能英語版(すなわち、u(x,y,z)=u(x)u(y)u(z))である場合には、

a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + e\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}  \text{ + (lower-order terms)}= 0

が得られる。

これは、楕円体の方程式 {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}-1=0 と対応している。 いちばん簡単な例は,

\triangle u=f(x)

のようなラプラス方程式である。

関連項目[編集]