ラプラス方程式

ラプラス方程式（ラプラスほうていしき）は次の式で与えられる 2 階線型の偏微分方程式である。発見者ピエール＝シモン・ラプラスから名づけられた。ラプラス方程式の解は、電磁気学、天文学、流体力学など自然科学の多くの分野で重要である。ラプラス方程式の解についての一般理論はポテンシャル理論という一つの分野となっている。

${\partial^2 \over \partial x^2 }\phi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial y^2 }\phi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial z^2 }\phi(x,y,z) = 0$

この方程式はしばしば以下のように記述されることもある。

∇²φ = 0

または

Δφ = 0

∇² (= Δ) をラプラシアン（ラプラスの演算子、ラプラス作用素）という。なお、∇ についてはナブラを参照。

電荷分布のない一様な媒質中の静電ポテンシャルと、定常的な熱伝導がこの方程式を満足する。

ラプラス方程式には、時間に当たる変数tが含まれていない。即ち、ラプラス方程式は、時間によって変化しない関数を解とする偏微分方程式である。 これは、ラプラス方程式に現れる関数は、定常状態と呼ばれる現象に関わる関数である事を意味する。

時間を反映した変数が無いので、ラプラス方程式には、初期条件は無く、境界条件だけが存在する。 ラプラス方程式の解となる関数を調和関数という。

ラプラス方程式の右辺を関数 f(x, y, z) に置き換えた方程式 Δφ = f はポアソン方程式と呼ばれる。

一般化

変数の数は任意有限個に拡張できる。n 変数の関数 φ = φ(x₁, x₂, ..., x_n) に関する偏微分方程式

${\partial^2 \over \partial x_1^2 }\phi + {\partial^2 \over \partial x_2^2 }\phi + \cdots + {\partial^2 \over \partial x_n^2 }\phi = 0$

を一般にラプラス方程式と呼ぶ。同様に微分作用素

$\Delta = {\partial^2 \over \partial x_1^2 } + {\partial^2 \over \partial x_2^2 } + \cdots + {\partial^2 \over \partial x_n^2 }$

をラプラシアンと呼ぶ。

関連項目

• ラプラス変換
• グリーン関数
• アーンショーの定理
• ヘルムホルツ方程式
• 波動方程式
• 調和関数
• フーリエ級数
• ポアソン方程式