拡散方程式

拡散方程式（かくさんほうていしき、英語：diffusion equation）は拡散が生じている物質あるいは物理量（本稿では拡散物質と記述）の密度のゆらぎを記述する偏微分方程式である。集団遺伝学における対立遺伝子の拡散のように、拡散と同様の振る舞いをする現象を記述するのにも用いられる。

方程式は一般に以下のように書かれる。

$\frac{\partial\phi}{\partial t} = \nabla \cdot \bigg( D(\phi,\vec{r}) \, \nabla\phi(\vec{r},t) \bigg),$

ただし、$\, \phi(\vec{r},t)$ は位置 $\vec{r}$ と時刻 $t$ における拡散物質の 密度、 $D(\phi,\vec{r})$ は位置 $\vec{r}$における密度 $\phi$の集団的な拡散係数、ナブラ $\, \nabla$ は空間微分作用素である。拡散係数が密度に依存する場合方程式は非線形となり、そうでなければ線形となる。$D$ が定数ならば、方程式は以下の線形方程式に帰着される。

$\frac{\partial\phi}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\vec{r},t),$

これは熱伝導方程式と呼ばれる。より一般に、D が正定対称行列であれば方程式は異方的拡散となる。

導出

拡散方程式は、密度の変化は各部分における流入と流出によって生じるという連続の式から直ちに導かれる。物質が生成されたり消滅することはないものとする。

$\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0$,

ただし $\vec{j}$ は拡散物質のフラックスである。拡散物質の流れは密度勾配に比例することを表した以下のフィックの法則と組合わせることで、拡散方程式は容易に導かれる。

$\vec{j}=-D\,(\phi)\,\nabla\,\phi\,(\,\vec{r},t\,)$.

関連項目

• 拡散
• 熱伝導
• フィックの法則