ポアソン方程式

ポアソン方程式（ポアソンほうていしき、英: Poisson's equation）は、2階の楕円型偏微分方程式。方程式の名はフランスの数学者・物理学者シメオン・ドニ・ポアソンに因む。

概要

f =f (x₁,…,x_n)を既知の関数とし、u =u (x₁,…,x_n)を未知関数としたときに、次の形で与えられる2階の偏微分方程式をn次元ポアソン方程式と呼ぶ。

${\partial^2 \over \partial x_{1}^{\,2} }u(x_1,\cdots,x_n) + {\partial^2 \over \partial x_{2}^{\,2} }u(x_1,\cdots,x_n) + \cdots + {\partial^2 \over \partial x_{n}^{\,2} }u(x_1,\cdots,x_n) = f(x_1,\cdots,x_n)$

特にf が恒等的に0である場合には、ラプラス方程式に帰着される。

ラプラスの演算子Δ またはナブラ∇ を用いれば、

$\Delta u = f \,$

または、

${\nabla}^2 u = f \,$

と表すことができる。

ポアソン方程式で記述される物理現象としては、電磁気学における静電ポテンシャルがある。与えられた電荷の分布ρとしたときに、静電ポテンシャルφは次のポアソン方程式を満たす。

$\Delta \phi = - {\rho \over \epsilon_0}$

数値解を求めるいろいろな方法があり、緩和法は一例である。

解の構成

ポアソン方程式は対数ポテンシャルやニュートン・ポテンシャルを用いることで、有界領域の内部における解の例（特殊解）u₀を構成することができる。こうした特殊解は物理や工学での応用上、重要である。さらに、いくつかの条件の下では、全領域（無限境界）における解となる。また、こうした特殊解を用いることで、ポアソン方程式の境界値問題をより単純なラプラス方程式の境界値問題に帰着させることができる。

2次元の場合

2次元空間R²の有界領域Ω でf (ξ,η )が1階連続微分可能とすると、

$\begin{align} u_0(x,y) & =-\frac{1}{2\pi}\iint_{\Omega}f(\xi, \eta, \zeta) \log{\frac{1}{ \sqrt{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2} }} d \xi d \eta \\ & = -\frac{1}{2\pi}\iint_{\Omega}f(\xi, \eta, \zeta) \log{\frac{1}{r}} \, d \xi d \eta \quad(r=\sqrt{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2}) \end{align}$

で与えたu₀(x, y )は、Ω の内部で2階連続微分可能であり

$\Delta u_0(x,y)=f(x,y) \,$

を満たす。ここで積分内の項log(1/r )を対数ポテンシャルと呼ぶ。上記の関係式は、ディラックのデルタ関数による形式的な関係式

$\Delta_{(x,y)} \biggl (\log{\frac{1}{r}} \biggr ) = - 2 \pi \cdot \delta(x-\xi, y-\eta)$

から理解することができる。

3次元の場合

3次元空間R³の有界領域Ω でf (ξ,η,ζ )が1階連続微分可能とすると、

$\begin{align} u_0(x,y,z) &= -\frac{1}{4\pi}\iiint_{\Omega} \frac{f(\xi, \eta, \zeta)}{ \sqrt{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2} } d \xi d \eta d \zeta \\ &= -\frac{1}{4\pi}\iiint_{\Omega} f(\xi, \eta, \zeta) \frac{1}{r} \, d \xi d \eta d \zeta \quad (r=\sqrt{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2}) \end{align}$

で与えたu₀(x, y, z)は、Ω の内部で2階連続微分可能であり

$\Delta u_0(x,y,z)=f(x,y,z) \,$

を満たす。ここで積分の中に現れる項1/r をニュートン・ポテンシャルと呼ぶ。上記の関係式は、2次元の場合と同様にディラックのデルタ関数による形式的な関係式

$\Delta_{(x,y,z)} \biggl ( \frac{1}{r} \biggr ) = - 4 \pi \cdot \delta(x-\xi, y-\eta, z -\zeta)$

から理解することができる。

n次元の場合

より一般的には、n次元空間Rⁿ(n ≧3)の有界領域Ω でf (ξ₁,…,ξ_n)が1階連続微分可能とすると、

$u_0(x_1,\cdots,x_n) = -\frac{\Gamma \bigl (\frac{n}{2}\bigr)}{ 2(n-2)\pi^{\frac{n}{2}} } \int \cdots \int_{\Omega} f(\xi_1, \cdots, \xi_n) r^{2-n} \, d \xi_1 \cdots d \xi_n \quad (r=\sqrt{(\xi_1-x_1)^2+ \cdots +(\xi_n-x_n)^2})$

で与えたu₀(ξ₁,…,ξ_n)は、Ω の内部で2階連続微分可能で

$\Delta u_0(x_1, \cdots ,x_n) = f(x_1, \cdots ,x_n ) \,$

を満たす。

参考文献

• R. Courant, D. Hilbert, Methoden Der Mathematischen Physik , R. クーラン, D. ヒルベルト (著), 丸山 滋弥, 斎藤 利弥 (翻訳)『数理物理学の方法』東京図書

関連項目

• ラプラス方程式