ディラックのデルタ関数

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数学におけるディラックのデルタ関数（〜かんすう、Dirac's delta function）、制御工学におけるインパルス関数 (impulse function) とは、実連続関数 f: R → R に対し、

$\int^{\infty}_{-\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)$

を満たす実超関数 δ のことである。単にデルタ関数、デルタ超関数 (delta function, delta distribution) とも呼ばれる。これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックにちなみ、この名称がついている。

デルタ関数は古典的な意味での関数ではない超関数（分布）の最初の例になっている。そのため、デルタ関数が各実数にたいしてとる「値」の意味については注意が必要だが、以下のの3つの条件によってデルタ関数を特徴づけることができる。まず、実直線上つねに一定の値 1 をとる関数とデルタ関数との積の積分は

$\int^{\infty}_{-\infty} \delta(x)\,dx = 1$

である。一方、 $\int^{\infty}_{-\infty} f(x)\delta(x)\,dx$ が f の 0 での値にしかよらないことから

δ(x) = 0（xが0でないとき）

が、最後に、積分値に関する要請から形式的に

δ(0) = ∞

と書くことができる。

[編集] 概要

$\int^{\infty}_{-\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)$ によってさだまるデルタ関数 δ(x) はその名前にも表れているように、あたかも通常の関数であるかのように扱うことも珍しいことではないのであるが、デルタ関数は通常の意味では関数ではないということには注意が必要である。例えば、デルタ関数が初等関数や一般の連続関数で表わすことができないことはすぐにわかる（連続関数が 1 を満たせばそれは常に 0 なる関数であって 2 を満たせず、2 を満たし、点 0 において非零な連続関数は 0 を含む小区間で非零でなければならない）。点 0 においてのみ不連続であることを認めても、条件の積分が通常の関数の（広義）リーマン積分であればやはり 1 を満たせば積分値は 0 であるし、ルベーグ積分においてもこのような関数は0と同じとみなされて積分値が 1 になることはない。したがって、このような条件からは通常の関数が定まることはないのである。

通常の意味ではまったく関数ではないデルタ関数は、しかし応用上非常に有用であり、数学的に定式化することは純学的にも応用学的にも重要なことである。たとえば、デルタ関数はヘヴィサイドの階段関数の超関数の意味での微分を与えている。

[編集] 初等関数による近似

デルタ関数は実軸上滑らかで有界な関数の空間 $C^\infty_b(\R)$ 上の汎関数になっているが、 $C^\infty_b(\R)$ の双対空間の中でデルタ関数に弱収束するような関数の族 (φ_t) 、つまり

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\phi_t(x) dx \rightarrow f(0) \quad (t \rightarrow 0)$

が任意の $f \in C^\infty_b(\R)$ についてなりたつような族 (φ_t) がいくつか知られている。同様にして、滑らかかつ有界とは別の種類の条件を満たす関数の空間の上の汎関数としての弱収束の表示も与えられている。　以下に代表的例を２つあげる。

[編集] 正規分布の密度関数による近似

中心 μ、分散 σ² の正規分布の密度関数

$f_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

は、デルタ関数の満たすべき

$\int^{\infty}_{-\infty}f_{\mu,\sigma}(x)\,dx = 1$

を満たす。さらに、μ = 0 で σ → 0 とすれば0の近傍の外で一様に f_σ(x) → 0 (x ≠ 0) かつ f_σ(0) → +∞ である。これは、σ → 0 とすることで、関数族f_σが汎関数としてデルタ関数に近付くことを意味する。したがって、デルタ関数はある意味で正規分布の密度関数の極限とみなすことができ、

$\lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)=\delta(x)$

と表現される。デルタ関数の表現に正規分布を用いたが、このことから、デルタ関数は正規分布の一種であると考えることが可能である。デルタ関数は、特殊な確率分布の表現に有用である。

[編集] Sinc関数による近似

Sinc関数から変数変換とスケーリングによって得られる関数族

$f_k(x) = \frac{\sin kx}{\pi x}$ （k は実数）

は、デルタ関数の満たすべき条件

$\int^{\infty}_{-\infty}f_k(x)\,dx = 1$

を満たす。ただし、これは左辺を広義積分 $\lim_{a\rightarrow \infty} \int_{-a}^a$ として解釈した際に成立する等式である。上記の例と違ってこの関数族は k → ∞ としても各点収束しないが、任意のコンパクト台の滑らかな関数 g に対して

$\lim_{k\to \infty} \int_{-\infty}^{\infty}f_k(x) g(x)dx = g(0)$

が成り立っている。これも弱収束の意味でデルタ関数を近似していると考えられ、

$\lim_{k \to \infty}\frac{\sin kx}{\pi x}=\delta(x)$

と表現される。

[編集] 佐藤の超関数としての定義

佐藤の超関数の流儀では、ディラックのデルタ関数は複素領域から実軸への抽象的境界値

$\delta(x):= \frac{-1}{2 \pi i}\left(\frac{1}{x+ i0} -\frac{1}{x- i0}\right)$

と定義される。ここで抽象的境界値とは正則関数のある種の同値類を表すが、直感的には x ≠ 0 ならば

$\frac{-1}{2 \pi i}\left(\frac{1}{x+ i0} -\frac{1}{x- i0}\right) = \frac{-1}{2 \pi i}\left(\frac{1}{x} -\frac{1}{x}\right) =0$

である。また、デルタ関数の最も重要な性質である

$\int \delta(x)f(x)\,dx= f(0)$

は、複素解析学のコーシーの積分公式から導かれる。厳密な定義には層係数のコホモロジー論を必要とするが、1 変数の場合は比較的容易に理論展開出来る．

[編集] 関連項目

[編集] 参考文献

Eric W. Weisstein. Delta Function, MathWorld.（英語）
Francois Treves (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Dover Publications.

ディラックのデルタ関数

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目次

[編集] 概要

[編集] 初等関数による近似

[編集] 正規分布の密度関数による近似

[編集] Sinc関数による近似

[編集] 佐藤の超関数としての定義

[編集] 関連項目

[編集] 参考文献

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