ディラック測度

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数学の分野におけるディラック測度(ディラックそくど、: Dirac measure)とは、ある(部分集合完全加法族を伴う)集合 X について与えられる xX および任意の可測集合 A ⊆ X に対して

\delta_{x} (A) = 1_A(x)= \begin{cases} 0, & x \not \in A; \\ 1, & x \in A \end{cases}

で定義されるような、X 上の測度 δx のことを言う。ここで 1_AA指示関数を表す。

ディラック測度は確率測度であり、確率論に関してそれは標本空間 X 内のほとんど確実な結果 x を表すものである。この測度を x における単一のアトム英語版と呼ぶこともある。しかし、ディラック測度をアトミック測度(atomic measure)として扱うことは正しくないことに注意されたい。実際、デルタ列の極限としてのディラックデルタの定義を考えるとこのことが分かる。ディラック測度は X 上の確率測度の凸集合の極値点英語版である。

その名称は、例えば実数直線上のシュワルツの分布として考えられるディラックのデルタ関数に由来するものである。すなわち、測度はその分布の特殊なものとして得られる。等式

\int_{X} f(y) \, \mathrm{d} \delta_{x} (y) = f(x),

は、次のような形式

\int_{X} f(y) \delta_{x} (y) \, \mathrm{d} y = f(x),

でも書かれ、これはデルタ関数の定義の一部分をなすものであるが、これはルベーグ積分の一定理として従う。

ディラック測度の性質[編集]

δx で、ある可測空間 (X, Σ) 内の固定点 x を中心とするディラック測度を表す。

  • δx は確率測度であり、したがって有限測度である。

(XT) を位相空間とし、Σ は少なくとも X 上のボレル代数 σ(T) と同程度性質の良いものとする。

  • δx狭義正測度であるための必要十分条件は、位相 T がすべての空でない開集合に x が含まれるようなものであることである。例えば、自明な位相 {∅, X} の場合が挙げられる。
  • δx は確率測度であり、局所有限測度でもある。
  • X がボレル代数を伴うハウスドルフ位相空間であるなら、δx内部正則測度であるための条件を満たす。なぜならば、{x} のような単集合は常にコンパクトであるからである。したがって δxラドン測度でもある。
  • 多くの応用例においてそうであるように、{x} が閉集合であるほど位相 T の性質が良いものであると仮定する。このとき δxは {x} である(そうでなければ、supp(δx) は (XT) 内での {x} の閉包である)。さらに、δx は台が {x} であるような唯一つの確率測度である。
  • Xn-次元ユークリッド空間 Rn であり、通常の σ-代数と n-次元ルベーグ測度 λn を伴うものであるなら、δxλn に関する特異測度である。すなわち、Rn は単純に A = Rn \ {x} と B = {x} に分解され、δx(A) = λn(B) = 0 が成立する。

参考文献[編集]

関連項目[編集]