sinc関数

正規化sinc(青) と非正規化sinc(赤)。−6π ≤ x ≤ 6π

sinc 関数（シンクかんすう）は、正弦関数をその変数で割って得られる初等関数である。sinc(x), Sinc(x), sinc x などで表される。

定義

sinc 関数は、正規化 sinc 関数と非正規化 sinc 関数という名で区別される、2種類の定義を持つ。

1. デジタル信号処理などでは、次の正規化 sinc 関数（標本化関数ともいう）が普通である。
   • $\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}.$
2. 数学では、次の歴史的な非正規化 sinc 関数が使われる。
   • $\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}.$

いずれの場合も、可除特異点である 0 での値が必要であればしばしば明示的に sinc(0) = 1 が定義として与えられる。sinc 関数はいたるところ解析的である。

sinc 関数は カーディナル・サイン (cardinal sine) とも呼ばれ、"sinc" (英語発音: /ˈsɪŋk/) の関数名はラテン語の sinus cardinalis を短縮したものである。

sinc関数の性質

特にことわらないかぎり、正規化sinc関数について述べる。 非正規化sinc関数は、スケール・ファクター$\pi$が違うだけなので、非正規化sinc関数についての式を得るには、$x \leftarrow x / \pi \,$を代入すればいい。

特殊値など

• $\mathrm{sinc}(k) = \delta_{0k}, \mbox{ if } k \in \mathbb{Z}$
  • ただし、$\mathbb{Z}$は整数の集合、$\delta_{ij}\,$はクロネッカーのデルタ。
  • つまり、$\mathrm{sinc}(0) = 1, \ \mathrm{sinc}(\pm 1) = \mathrm{sinc}(\pm 2) = \ldots = 0$である。
• $\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \mathrm{sinc}(x) = 0$
• $\left. \frac{d}{dx}\frac{\sin x}{x} = 0 \right|_{x = a} \iff \frac{\sin a}{a} = \cos a$

フーリエ変換

• $\mathrm{rect}(x) \leftrightarrow^\mathfrak{F} \mathrm{sinc}(\omega), \mbox{ where } \mathrm{rect}(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if } |x| \leq 1 / 2 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$
  • ただし、$f(x) \leftrightarrow^\mathfrak{F} F(\omega)$はフーリエ変換対、$\mathrm{rect}(x)\,$は（単位）矩形関数。つまり、矩形関数のフーリエ変換はsinc関数、sinc関数のフーリエ変換は矩形関数である。

テイラー展開

• $\frac{\sin x}{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n}$

定積分

• $\int_{0}^{\infty} \mathrm{sinc}(x) \, dx = \frac{1}{2}, \ \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sinc}(x) \, dx = 1$
• $\int_{0}^{\infty} \mathrm{sinc}^2(x) \, dx = \frac{1}{2}, \ \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sinc}^2(x) \, dx = 1 \quad \left(\mathrm{sinc}^2(x) = \{\mathrm{sinc}(x)\}^2 \right)$
• $\int_{0}^{\infty} | \mathrm{sinc}(x) | \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} | \mathrm{sinc}(x) | \, dx = \infty$

不定積分

• $\mathrm{Si}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^k x^{2k+1} }{ (2k+1)(2k+1)! }$
  • （非正規化）sinc関数の不定積分を正弦積分と呼び、$\mathrm{Si}(x) \,$で表す。$\mathrm{Si}(x) \,$は特殊関数である。

直交性

• $\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sinc}(x-i)\mathrm{sinc}(x-j) \, dx = \delta_{ij}, \mbox{ if } i, j \in \mathbb{Z}$
  • sinc関数の平行移動同士は直交する。

無限積

• $\frac{\sin x}{x} = \prod_{k = 1}^{\infty} \cos \frac{x}{2^k}$
• $\mathrm{sinc}(x) = \prod_{k = 1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{k^2} \right)$

信号処理への応用

さまざまな用途が考えられるが、コンパクト・サポートでない（非0の値が有限区間に限定されていない）ため、非常に多くの計算量を要することが多い。有限長で計算をうち切らなければならないことも多く、無限長では生じない問題が発生することもある。概して、理論的背景やシミュレーションにとどまることが多い。

• 直交性と ±∞ での収束性から、直交ウェーブレット変換の基底に用いる。ただし、コンパクト・サポートでないため、計算量が O(N²)（ランダウの記号）で増える。これは、コンパクト・サポートな基底だと計算量が O(N) であることに比べ、大きなデメリットである。
• フーリエ変換が矩形関数であることから、リサンプリングや内挿の補間カーネル（低域通過フィルタ）に用いる。無限系列では、sinc 関数は理想的な補間カーネルである。しかし、コンパクト・サポートでないことが問題になるため、実際には、sinc 関数に似たコンパクト・サポート関数である、3次畳み込み関数や、ランツォシュ・フィルタ（Lanczosフィルタ）などが使われることが多い。
• 矩形関数のフーリエ変換であることから、sinc 関数を使えば、理想的なD/A変換ができる。ただしこれは、重要な概念ではあるが、実際にこのやりかたで D/A 変換がなされるわけではない。

関連項目

• 三角関数
• 標本化定理
• アンチエイリアス
• 矩形波

外部リンク

• シンク関数の数学的諸性質 - 佐藤郁郎