テイラー展開

テイラー展開（テイラーてんかい: Taylor expansion）とは、無限回微分可能な関数 f(x) から、テイラー級数（テイラーきゅうすう、Taylor series）と呼ばれる、負冪の項を持たない冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。冪級数展開（べききゅうすうてんかい）とも呼ばれる。

実数または複素数関数の f(x) が 1 変数関数の場合には

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^{n}$

ここで n! は n の階乗で、ƒ⁽ⁿ⁾(a) は ƒ の x = a における n 次導関数、ƒ の 0 次導関数は ƒ 自身である。また、(x − a)⁰ と 0! は 1 と定義されている。この冪級数がもとの関数 f(x) に一致するとき、f(x) はテイラー展開可能であるという。

多変数関数の場合にも同様の展開法が考えられ、それもテイラー展開という。

厳密にはこの展開は x = a の近傍でのみ考えるものであり、x = a におけるテイラー展開、またはx = a のまわりでのテイラー展開という。a = 0 のとき

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}$

を特にマクローリン展開（マクローリンてんかい: Maclaurin expansion - 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する）と呼ぶ。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的である、またはその領域上の解析関数であるという。

関数が無限回微分可能であっても、テイラー級数が元の関数とすべての x で一致するとは限らない。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 R_n が 0 に収束するかどうかによって判定できる；ここで R_n は
ある c ∈ (a, x) が存在して、

$R_n (x) = {f^{(n)}(c) \over n!} (x - a)^n$

と書ける。または積分を用いて、次のように表せる；

$R_n (x) = \int_a^x {(x-t)^{n-1} \over (n-1)!} f^{(n)}(t)\, dt.$

例

いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。

多項式

多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。

指数関数と自然対数

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x$

$\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ for all } |x| < 1$

幾何級数

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{for all } |x| < 1$

二項定理

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad\mbox{for all } |x| < 1 \mbox{ and any complex } \alpha$

三角関数

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } |x| < \frac{\pi}{2}$

$\csc x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{ (-1)^n (2-2^{2n}) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } 0 < |x| < \pi$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } |x| < \frac{\pi}{2}$

$\cot x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{ (-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } 0 < |x| < \pi$

$\sin^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1$

$\cos^{-1} x = {\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1$

$\tan^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1$

双曲線関数

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } |x| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1$

ランベルトの W 関数

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ for } |x| < \frac{1}{e}$

tan(x)、csc(x)、cot(x)、tanh(x) の展開に現われる数 B_k はベルヌーイ数である。 二項展開の C(α,n) は二項係数である。sec(x) の展開に現われる E_k はオイラー数である。

多変数関数のテイラー展開

テイラー展開は1変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。例として、多変数関数$f(x^{\mu})$を定義する。$x^{\mu}$とはアインシュタイン縮約にもとづいた記法であり、例えば3次元では$(x, y, z)$となる。$f(x^{\mu})$のテイラー展開は以下のようになる。

$f(x^{\mu}) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{n!} \left[ (x^{\mu} - \alpha^{\mu}) \partial_{\mu} \right]^n f(\alpha^{\mu})$

上式の$\partial_{\mu}$は微分演算子であり、3次元では$\nabla$となる。一番後ろに$f(\alpha^{\mu})$があるが、これは$f(x^{\mu})$に左の演算子を作用させてから$\alpha^{\mu}$を代入することを表していることに注意する。教科書等ではあまりこのような表現は見かけないが、非常にすっきりとした式となる。

和算におけるテイラー展開

同時期の鎖国下の日本において、1720年頃に、和算家建部賢弘によってテイラー級数が使用されている。建部自身が、何らかの公式であるとは認識していなかっただろうが、正 1024 角形のみを用いた 40 桁程度の円周率を導き出している。実質は $\frac{(\sin^{-1} x )^2}{2}$ の級数に x = 1/2 を代入したものである。

$\pi^2 = 9\left(1 + \frac{1^2}{3\cdot4} + \frac{1^2 \cdot 2^2}{3\cdot4\cdot5\cdot6} + \frac{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2}{3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8} + \cdots\right)$

後に松永良弼はこれをさらに 70 桁台まで飛躍させた。実質は sin^-1 x の級数に x = 1/2 を代入したもの。

$\pi = 3\left(1 + \frac{1^2}{4\cdot6} + \frac{1^2 \cdot 3^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10} + \frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10\cdot12\cdot14} + \cdots\right)$

実のところは公式という認識にはいたっていなかっただろうが、和算の功績のひとつである。

分数次のテイラー展開

分数階微積分学の進展にともない「分数次のテイラー展開はどんなものになるのか？」という問が提起され、2007年Odibat と Shawagfehがこの問いに答えを出している 。 これによると、分数次のテイラー展開は以下のように書ける。

$f(x+\Delta x) = f(x) + D_x^\alpha f(x+)\frac{(\Delta x)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} + D_x^\alpha D_x^\alpha f(x+)\frac{(\Delta x)^{2\alpha}}{\Gamma(2\alpha+1)} + \cdots.$

ここで、

$0<\alpha<1\,\!$は分数の次数α

$x+\,\!$は$x\,\!$へ右側から近づいた時の極限を表す。

関連項目

• 正則関数
• ガンマ関数
• Maxima/テイラー展開