矩形関数

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矩形関数

矩形関数(くけいかんすう、: rectangular function)は、単関数の一種で、以下のように定義される関数である[1]

\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0           & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases}

別の定義では、\mathrm{rect}(\pm \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}) を 0 か 1 にするか、未定義とする。

別表現[編集]

\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)\,
または、
\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)\,
とも表せる。
 \operatorname{rect} (t) = \lim _{n \to \infty} \frac{1}{1 + |2 t| ^n}
とも表せる。

性質[編集]

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt
=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(f)\,
および、
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)\,
ここで sinc は正規化されたSinc関数である。
\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t)\,
\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2}\,
また、その積率母関数は次のようになる。
M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2}\,
ここで、\mathrm{sinh}(t)双曲線正弦関数である。

参考文献[編集]

  1. ^ Earl G. Williams; 吉川茂、西條献児訳 『フーリエ音響学』 シュプリンガーフェアラーク東京、2005年、8頁。ISBN 4-431-71174-0 

関連項目[編集]