矩形関数

矩形関数

矩形関数（くけいかんすう、英: rectangular function）は、単関数の一種で、以下のように定義される関数である。

$\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \end{cases}$

別の定義では、$\mathrm{rect}(\pm \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix})$ を 0 か 1 にするか、未定義とする。

別表現

• ヘヴィサイドの階段関数 $u(t)$ を使って次のように矩形関数を表現することもできる。

$\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)\,$

または、

$\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)\,$

とも表せる。

• 極限を用いれば、

$\operatorname{rect} (t) = \lim _{n \to \infty} \frac{1}{1 + |2 t| ^n}$

とも表せる。

性質

• 矩形関数のフーリエ変換は次のようになる。

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt =\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(f)\,$

および、

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)\,$

ここで sinc は正規化されたSinc関数である。

• 三角形関数は2つの矩形関数の畳み込みで定義できる。

$\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t)\,$

• 矩形関数の確率分布関数として見た場合、その特性関数は次のようになる。

$\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2}\,$

また、その積率母関数は次のようになる。

$M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2}\,$

ここで、$\mathrm{sinh}(t)$ は双曲線正弦関数である。

関連項目

• フーリエ変換
• ボックスカー関数
• 矩形波
• 三角形関数