初等関数

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初等関数(しょとうかんすう)とは、複素数変数とする多項式関数指数関数対数関数主値の四則演算合成によって表示できる関数である。これによると、三角関数双曲線関数、そして両者の逆関数主値

\sin x = \frac{\exp(ix) - \exp(-ix)}{2i}
\sinh x = \frac{\exp(x) - \exp(-x)}{2}
\operatorname{arcsin}x = -i\operatorname{ln}(ix + \sqrt{1 - x^{2}})
\begin{align} \operatorname{sinh}^{-1}x &= \operatorname{Areasinh}x \\ &= \operatorname{ln}(x + \sqrt{1 + x^{2}}) \end{align}

に代表される表示が可能であるから、初等関数と考えることが出来る。初等関数は一価関数に限る。

初等関数の導関数は必ず初等関数になるが、初等関数の原始関数、及び初等関数を用いた微分方程式の解は必ずしも初等関数になるとは限らない。例えば、次の二つの不定積分

\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}

は似た形であるにもかかわらず、前者は解けて Arcsin x + C となるが、後者は初等関数の範囲では解けない。この積分は、特殊関数である楕円積分を用いて F(Arcsin x, −1) + C と表示される。

初等関数の逆関数は必ずしも初等関数になるとは限らない。例えば、5次以上の多項式 P(x) に対し、方程式 P(x0) = 0 の解は一般には初等関数を用いて表せないことがニールス・アーベルによって証明されている。従って P(x) の逆関数 P−1(x) が初等関数であれば、x0 = P−1(0) と表せてしまうから、P−1(x) は初等関数ではない。最近、一部の数学者たちによって、P−1(x) は楕円関数を用いて表示できることがわかってきている。