シグマ加法性

数学の分野において、ある与えられた集合の部分集合上で定義される関数の加法性（かほうせい、英: additivity）およびシグマ加法性（シグマかほうせい、英: sigma additivity）は、集合の大きさ（長さ、面積、体積）についての直感的な性質に関する抽象概念である。シグマ加法性は可算加法性（かさんかほうせい、countable additivity）、完全加法族（かんぜんかほうぞく、英: completely additivity) とも呼ばれる。

加法的（あるいは有限加法的）な集合関数

$\mu$ を集合代数 $\scriptstyle\mathcal{A}$ 上で定義され [−∞, +∞] （拡大実数を参照されたい）に値を取る関数とする。関数 $\mu$ が加法的あるいは有限加法的であるとは、$\scriptstyle\mathcal{A}$ 内の任意の互いに素な集合 A と B に対して

$\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) \,$

が成立することを言う（この式から、一つの加法的関数が値として −∞ と +∞ の両方を同時に取ることはできないことが分かる。実際、∞ − ∞ は定義されないからである）。

数学的帰納法により、$\scriptstyle\mathcal{A}$ 内の任意の互いに素な集合 $A_1,A_2,\dots,A_N$ に対して、加法的関数は

$\mu\left(\bigcup_{n=1}^N A_n\right)=\sum_{n=1}^N \mu(A_n)$

を満たすことが分かる。

シグマ加法的集合関数

$\scriptstyle\mathcal{A}$ をシグマ代数とする。$\scriptstyle\mathcal{A}$ 内の任意の互いに素な集合の列 $A_1,A_2,\dots,A_k,\dots$ に対し

$\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$

が成立するとき、μ は可算加法的あるいはシグマ加法的であると言われる。

任意のシグマ加法的関数は、加法的であるが、その逆は成立しない。そのような反例については後述を参照されたい。

性質

基本性質

加法的関数 μ の有用な性質として、以下が挙げられる：

1. μ(∅) = 0.
2. μ が非負で、A ⊆ B であるなら、μ(A) ≤ μ(B) が成り立つ。
3. A ⊆ B であるなら、μ(B - A) = μ(B) - μ(A) が成り立つ。
4. 与えられた A および B に対し、μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B) = μ(A) + μ(B) が成り立つ。

例

シグマ加法的関数の一例として、実数の冪集合全体で定義される次のような関数 μ が考えられる：

$\mu (A)= \begin{cases} 1 & \mbox{ if } 0 \in A \\ 0 & \mbox{ if } 0 \notin A. \end{cases}$

$A_1,A_2,\dots,A_k,\dots$ を、実数全体に含まれる互いに素な集合の列とする。このとき、それらのどれも 0 を含まないか、どれか一つだけが 0 を含む二通りの場合が考えられる。いずれの場合でも、等号

$\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$

が成り立つため、μ はシグマ加法的関数である。

シグマ加法的関数のその他の例については、測度および符号付測度の記事を参照されたい。

加法的であるがシグマ加法的でない関数の例として、上述の例から少し変更を加えた、次のような実数に含まれる冪集合全体で定義される関数 μ が考えられる：

$\mu (A)= \begin{cases} \infty & \mbox { if } 0 \in \bar A \\ 0 & \mbox { if } 0 \notin \bar A \end{cases}$

ここで、上付きのバーは集合の閉包を表す。

この関数が加法的であることを確かめるためには、有限数の集合の合併の閉包はそれら各集合の閉包の合併に等しいという性質と、各集合の閉包に 0 が含まれるか否かという点に注目すれば、すぐに分かる。この関数がシグマ加法的ではないことを確かめるためには、n=1, 2, 3, ... に対して互いに素な集合の列

$A_n=\left[\frac {1}{n+1},\, \frac{1}{n}\right)$

を考えれば良い。これらの集合の合併は開区間 (0, 1) でありその閉包は [0, 1] であるため、そのような合併に対して関数 μ は無限大の値を取る。しかし、各区間毎に対する関数 μ の値はゼロであるため、そのような μ(A_n) の和もゼロとなる。したがって、μ は上述の定義の等式を満たさず、シグマ加法的ではない。

一般化

任意の加法的なモノイド（例として、任意の群やより一般的なベクトル空間が挙げられる）に値を取る加法的関数を定義することが出来る。シグマ加法性については、さらに列の極限の概念がその集合上で定義される必要がある。例えば、スペクトル測度はバナッハ代数に値を取るシグマ加法的関数である。また別の例として、量子力学の分野における正作用素値測度が挙げられる。

関連項目

• 符号付測度
• 測度
• 加法的関数
• 劣加法的関数
• ハーン＝コルモゴロフの定理