調和関数

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円環上で定義された調和関数

数学において、調和関数(ちょうわかんすう、: harmonic function)とはラプラス方程式の解となる関数のことをいう。

調和関数に関する重要な問題はディリクレ問題である。ディリクレ問題の解決方法にはいくつかあるが、その中でも重要な一般的方法はディリクレの原理である。

20世紀には、ウィリアム・ホッジ英語版ジョルジュ・ド・ラーム英語版小平邦彦らが調和積分論の発展の中心的な役割を果たした。

定義[編集]

関数 f: Cn (resp. Rn) → C (resp. R)ラプラス作用素

\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}

に対し、Δf = 0 を満たすとき、関数 f調和的 (— is harmonic) である、あるいは f調和関数であるという。

性質[編集]

以下では i虚数単位として用いる。

  • 複素数 z = x + iy (x, yR)変数とする複素 1 変数複素関数 f (z) について、これを実 2 変数の関数として書き直すことができる。実 2 変数複素関数 w(x, y) = f(z) を、実部と虚部に分解すると
w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) (u, vR),
実部と虚部に対応する実 2 変数の実関数として u(x, y)v(x, y) が得られる。このとき、w複素微分可能であれば u(x, y), v(x, y) は実 2 変数の調和関数となる。
コーシー・リーマンの関係式より、2 つの関数 u(x, y), v(x, y)
\begin{cases}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial v}{\partial y}(x,y)\\
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)
\end{cases}
を満たすが、これをベクトル解析の言葉で書き直せば grad u(x, y) = (∂y, −∂x)Tv(x, y) となり、この湧き出し div grad u(x, y) = Δ u(x, y) はゼロなので、関数 u(x, y) は 2 次元のラプラス方程式を満たす調和関数であることが分かる。同様の方法でまた v(x, y) も調和関数であることが導かれる。
  • 2 つの調和関数がコーシー・リーマンの関係式を満たすとき、それらは共役である。共役な調和関数の対から、正則関数 z = x + iy が与えられる。
  • 調和関数 φ が領域 D 内で定義されているとする。このとき、ある点 r における調和関数の値 φ(r) は、点 r を中心とする任意の半径を持つ球面上(あるいは円周上)での調和関数 φ(r')平均値に等しい。これは調和関数の平均値の性質 (mean value property)、あるいはガウスの平均値定理 (Gauss' mean value theorem)、または単に調和関数に関する平均値定理 (mean value theorem for harmonic functions) と呼ばれる。
  • 平均値の性質から、点 r における調和関数の値 φ(r) は、点 r から出発したランダムウォーカーが領域 D の境界 ∂D に到達したとき、到達した点での調和関数の境界値 φ(r'∂D)期待値に対応していることが分かる。逆に、任意のディリクレ境界条件に対して、任意の点 r の調和関数の値 φ(r) を見積もるには、r を出発して到達した点での境界値の算術平均をとればよい。

一般化[編集]

微分形式に対するホッジ・ラプラシアンなどの「ラプラス作用素の類似物」が与えられれば、それに関して同様の調和関数(調和形式、調和写像)が定義できる。

複体上の調和関数[編集]

鎖複体 X = {Xn} に対し、複素数 C 係数の双対鎖複体 A = Hom(X, C) = {An = Hom(Xn, C)} を考える。ただし、Hom(Xn, C)Xn から C への写像全体の作る関数空間で、値での演算から C 上のベクトル空間になっている。このとき、以下の条件を満たすことを仮定する。

An は正定値内積 (·, ·) を持ち、A における双対境界作用素 ∂ = {∂n} は内積 (·, ·) に関して共役な(次数つきベクトル空間としての)−1 次の準同型 d = {dn} を持つ。

このとき、双対鎖複体 A におけるラプラス作用素とは

\Delta = \partial\circ d + d \circ\partial

で定義される次数つきベクトル空間としての 0 次の準同型 Δ のことと定義する。

fAnΔf = 0 を満たすとき、f調和的であるとか n 次の調和関数であるなどという。

ラプラス作用素 Δ に関する、An 次の C 係数調和関数全体の成すベクトル空間を Harmn(X; C) と表すことにする。このとき、調和関数全体の成す次数つきベクトル空間 Harm(X; C) = {Harmn(X; C)} は、C 係数コホモロジー群 H(X; C) = {Hn(X; C)} と次数つきベクトル空間として同型である。

関連項目[編集]