虚数単位

虚数単位（きょすうたんい、英: imaginary unit）とは、−1 の平方根（2乗して−1になる数）のうち、適当に選ばれたものである。任意の実数は2乗すれば非負になるので、虚数単位は実数の中には存在しない。

虚数単位は通常、imaginary の頭文字をとり、記号 i で表される。i を別の意味の記号（電流など）に使いたいときは、j を虚数単位とすることがある。同時に複数の虚数単位を扱う時には、3つの場合は i, j, k を、7つ以上は i₁, i₂, … などとすることが多い。

定義

虚数単位 i は、2項多項式 x² + 1 の2つの根のうち任意の一方のことであり、

$i^2 = -1,\quad i = \sqrt{-1}$

と、表すことができる。根のいずれか一方を i とすれば、他方は必ず -iとなる。

「実数の全体と虚数単位 i を含み四則演算が自由にできる（体になる）」という仮定を満たす最小の集合を複素数体、その元を複素数といい、実数でない複素数のことを虚数という。

同様に、「複素数の全体と、複素数に含まれない新たな虚数単位 j を含む最小の体」を四元数体といい、その元を四元数という。このとき、ij = k とおくと、k も k² = −1 を満たす。この i, j, k をそのまま虚数単位とすることもできるが、複素数体の場合に −i を i と置き直しても同じ構造であるのと同じように、四元数体 H においても、虚数単位を取り直すことができる。すなわち、R³ の正規直交基底を一組選び、

$f\,:\,{\mathbb R}^3 \to {\mathbb H} \quad ((a, b, c) \mapsto ai + bj +ck)$

によって写した像を新たに i, j, k とおいて虚数単位としてもよい。ただし、基底を左手系に取ると ij = -k となってしまうので、数学的な必然性はないが、慣習として右手系が選ばれる。

つまり虚数単位は、複素数・四元数の範囲を、実数部分と虚数部分に分けた時の、後者の方の基本単位である。八元数・十六元数はさらに多くの虚数単位を持つ。

行列表現

線型代数学（あるいは線型表現）の知識を用いると、虚数単位が行列で表される。実際、

$J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

と定義される行列 J は、J² = −E （E は 2 次単位行列）という性質を持つ。これは、虚数単位 i の左からの積が引き起こす複素数体 C の一次変換を、表現空間 C を2次元実ベクトル空間 R² とみて行列表現することによって得られる。

四元数についても同様に、四元数体 H における積を C² に対して引き起こされる一次変換と見なすことにより

$J_1 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},\quad J_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad J_3 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

という三つの虚数単位の行列表現を考えることができる。また、C² と見なすのでなく R⁴ と見なせば、4 次の正方行列として表現することもできる。詳しくは四元数の項を参照されたい。

行列の積は結合的であるので、八元数や十六元数では（結合法則を満たさないため）このような表示はできない。

関連項目

• 複素数
• 冪根