−1

-2 ← −1 → 0
二進法	-1
八進法	-1
十二進法	-1
十六進法	-1
二十進法	-1
漢数字	マイナス一
大字	マイナス壱
算木

−1（マイナスいち）は、最後の負の整数で、−2 の次で 0 の前である（0 からマイナス無限大へ数えれば、最初の負の数で、0 の次で −2 の前である）。

性質 [編集]

−1 は最大の負の整数であり、絶対値が最小の負の整数である。
−1 は整数の単数である（単数は2つありもう1つは1）。またガウス整数の単数でもある（単数は4つあり他の3つは1, ±i）。
−1 をかけると反数になる。つまり、 $a \times (-1) = -a$ となる。このような場合 $a \times{}-1$ とは書かないのが一般的である（ $-1\times{}a$ という形ならばよい）。
−1 を2乗すると 1になる。これは

$0 = -1\cdot0 = -1\cdot (-1+1)$ 　であり、これを分配法則にしたがって展開すると

$0 = ((-1)\cdot (-1)) + ((-1)\cdot 1) = ((-1)\cdot (-1)) -1$ ⇔ $((-1)\cdot (-1)) = 1$ 　であることから示される。

よって(−1)² = 1 であり、したがって −1 は 1 の平方根のうちのひとつ。一般に −1 を偶数乗すると 1 になる　(−1)²ⁿ = 1 。よって −1 は全ての 1 の2n乗根のひとつである（n>0）。

−1 の平方根のうち一つを虚数単位 $\mathit{i} \,$ と呼ぶ。−1 の平方根はとの二つである。すなわち $\mathit{i} \,$ ² = ( $-\mathit{i} \,$ )² = −1
- ただし、 $-1 = \sqrt{-1 - 2 \sqrt{-1 - 2 \sqrt{-1 - 2 \sqrt{\ldots}}}}$
$-1 = \cos 180^\circ + \mathit{i}\sin180^\circ = \cos\pi + \mathit{i}\sin\pi$ と単位円周上で $\theta = \pi \,$ rad の点として表すこともできる。
自然数の −1 乗の総和は収束せず、正の無限大に発散する（→ゼータ関数）。
1/(−1) = −1　負の整数の逆数が整数になるのは 1/−1 のときのみである。逆数が自分自身である整数（または実数）は-1と1のみ。
(−1)⁻¹ = −1　x が負の数のとき x^x が整数になるのは x = −1 のときのみ。
逆数を x⁻¹ で表すこともある（ $x\ne{}0$ ）。例えば3の逆数なら 1/3 = 3^-1 となる。一般に x ・x⁻¹ = x⁻¹ ・x = 1 であり、(x⁻¹)⁻¹ = x である。
逆関数を f ^-1(x) で表すこともある。例えば y = cos x の逆関数なら x = cos y ⇔ y = cos⁻¹ x となる。一般にf(f⁻¹(x)) = f⁻¹(f(x)) = x であり、((f ⁻¹)⁻¹(x)) = f(x) である。
逆行列を A⁻¹ で表すこともある。一般にA・A⁻¹ = A⁻¹・A = E であり、(A ⁻¹)⁻¹ = A である。
座標平面上で直交する2本の直線の傾きを掛け合わせると −1 になる。
kⁿ − 1 = (k−1)(kⁿ⁻¹+kⁿ⁻²+…+k²+k+1) と因数分解できる（k, nは整数で k, $n \geq 2$ ）。 $k \geq 3$ のとき kⁿ − 1 は k − 1 を約数にもつ合成数。したがって k = 2 のときのみ kⁿ - 1 は素数になる可能性がある（→メルセンヌ素数）。
異なる n 個のものを円形に配置する並べ方は ( n − 1)!通りである（円順列）。
(−1)!! = 1　−1の二重階乗は1とされる。
三角関数では $\sin{x}$ は $x = 3\pi/2$ のとき最小値 −1 をとる。また $\cos{x}$ は $x = \pi$ のとき最小値 -1 をとる（ $0\leq x < 2\pi$ ）。
x⁻¹ の不定積分は　 $\int x^{-1} dx = \ln{x} + C$ 　（Cは積分定数）となる。
xⁿ をxで微分すると　 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ 　となる。
1でない正の実数 r の累乗数 rⁿ の和は　 $\sum_{k=0}^{n}r^k = \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$ 　となる。
$e^{i\pi} = -1 \,$ 　オイラーの公式と呼ばれるもので $e^{i\pi} + 1 = 0 \,$ とも書かれる。数学で最も基本的な定数である、e , $\mathit{i}$ , $\pi$ , 1, 0 がこのような単純な関係式で表現できるのは非常に興味深く、この式に美しさを感じるという数学者も少なくない。