階乗

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自然数 n階乗(かいじょう、英語: factorial)をn!で表す。階乗とは、1 から n までの自然数総乗

n\times(n-1)\times\cdots\times3\times2\times1=\prod_{k=1}^n k

のことを言い、 例えば、6! = 6・5・4・3・2・1 = 720 である。階乗数は n が大きくなるにつれて驚くほど大きな数になるので記号として「!」が使われるようになったという。

また、0! = 1 と約束する。これは、(n − 1)! = n! / n であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、あるいは、n! が異なる n 個のものを並べる順列の総数 nPn に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、などと解釈できる。

順列では、互いに異なる n 個のものから n 個全部または n − 1 個を選んで一列への並べる方法は n! 通りあり、互いに異なる n 個のものから n 個全部を選んで円環状に並べる方法は (n − 1)! 通りある。

階乗数[編集]

ある非負整数の階乗である自然数を階乗数という。

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800

また階乗数の逆数総和

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} =2.71828182845904523536028747\cdots =e

となり自然対数の底 e に等しい。

組み合わせ[編集]

スターリングの近似公式[編集]

大きな数の階乗はスターリングの公式によって近似することができる。

n!\approx \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n} =\sqrt{2\pi} n^{n+\frac{1}{2}} e^{-n} \qquad (n\gg 0)

例えば、

20! = 2432902008176640000 \approx2.432902\times10^{18}
20! \approx \sqrt{2\pi}20^{20+\frac{1}{2}}e^{-20}\approx2.422787\times10^{18}

である。

拡張[編集]

Γ関数[編集]

階乗は、自然数を変数とする写像と考えることができるが、この定義域実数に拡張したものにガンマ関数

\Gamma (z)=\lim_{n\to\infty} \frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n (z+k)}

がある。定義域を正の実数に制限すれば、これは自然数 n に対し、\Gamma  (n+1) = n! を満たす実数値連続関数である。ガンマ関数はさらに負の整数を除く複素数の範囲にまで拡張される。

これを使って、非負整数以外の階乗を定義できる。例えば、

\left( -\frac{1}{2} \right) !=\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) =\sqrt{\pi}

なので、n! = n × (n − 1)! より、半整数に対する階乗は

\left( n+\frac{1}{2} \right) !=\sqrt{\pi} \times \prod_{k=0}^n \frac{2k+1}{2}

であり、よって 3.5! は、

3.5!=\sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{105\sqrt{\pi}}{16}\approx 11.63

となる。なお、n > 1 ならば n! < (n + 1/2)! < (n + 1)! である。

(n − 1)! = n! / n より、負数の階乗も考えられる。ただし負の整数の階乗は(0 での除算になるため)定義できない。

多重階乗[編集]

二重階乗は、自然数 n に対し、n が奇数なら 1 から n までの奇数の総乗、n が偶数なら 2 から n までの偶数の総乗である。またnが負の奇数にも拡張される。これを n!! と書き、逆正弦関数 Arcsin xテイラー展開などに用いられる。

(2n)!!=(2n)(2n-2)\cdots(2)=2^n n!
(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)\cdots(1)=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}
(-(2n+1))!! = \frac{(-1)^n}{(2n-1)!!}

あまり使用されないが、三重階乗n!!! または n!3 で表し、四重階乗n!!!! または n!4 で表す。一般のm重階乗n!m で表す。n < m のとき、n!m = n である。

二重階乗の例[編集]

(-3)!!=-1
(-1)!!=1
0!!=1
1!!=1
2!!=2
3!!=3
4!!=8
5!!=15
6!!=48
7!!=105
8!!=384
9!!=945
10!!=3840

階乗冪[編集]

自然数 x の階乗は 1 から x までの数の乗積であるが、x から 1 に向かって x 個の数の積でもある。これを一般化して、x 個ではなく n 個の数の積としたもの、いわば不完全な階乗が考えられる。それを普通の階乗と区別するために階乗冪 (factorial power) という。階乗冪には下降階乗 (falling factorial) と上昇階乗 (rising factorial) とがある。

下降階乗は x から負の向きにn個の数の乗積である。

\begin{align}
&x^{\underline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)=\frac{x!}{(x-n)!}\\
&n!=n^{\underline{n}}\\
\end{align}

上昇階乗は x から正の向きに n 個の数の乗積である。

\begin{align}
&x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}\\
&n!=1^{\overline{n}}\\
\end{align}

定義から階乗冪はすべての複素数に対しても定義できる。その場合、階乗による表記はガンマ関数を用いて書き直す必要がある。

具体的には次のようになる[1][2]

x^{\underline{n}}=\frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}
=(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+n)}{\Gamma (-x)}

x^{\overline{n}}=\frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}
=(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+1)}{\Gamma (-x-n+1)}

特に上記二式の右辺の式は x が負の整数の場合に特に有効[3]である。

上記の式から、下降階乗と上昇階乗の間に次の関係が成り立つことが分かる。

x^{\underline{n}} =(-1)^n \, (-x)^{\overline{n}}
x^{\overline{n}} =(-1)^n \, (-x)^{\underline{n}}

ポッホハマー記号[編集]

ポッホハマー記号 (Pochhammer symbol) は上昇階乗を表す記号である。

(x)_n=x^{\overline{n}} =\prod_{k=0}^{n-1} (x+k)

ただし、下降階乗を (x)_n で表し、上昇階乗を (x)^{(n)} で表している文献もある[4]

和の公式[編集]

上昇階乗とその逆数は、和の公式が次のような形で書くことができる。 双方の公式とも、畳み込み級数となることを利用すれば導出できる。


\begin{align}
  & \sum_{k=1}^n k^{\overline{m}} = \frac{n^{\overline{m+1}}}{m+1},\\
  & \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^{\overline{m+1}}} = \frac{1}{m}\left(\frac{1}{m!} - \frac{1}{(n+1)^{\overline{m}}}\right).
\end{align}

関連記事[編集]

脚注および出典[編集]

  1. ^ 右辺は反射公式による。
  2. ^ x = 0 の場合、階乗冪は当然 0 であるがガンマ関数による表記は x = 0 の場合もカバーしている。また、x < n のときの自然数 x に対する下降階乗、および −x < n のときの負の整数 x に対する上昇階乗も 0 になるが、それもカバーしている。
  3. ^ ガンマ関数は 0 および負の整数で極を持つため、中辺の式では定義できない。
  4. ^ Wolfram Mathworld: Pochhammer Symbol

外部リンク[編集]