階乗

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階乗（かいじょう）とは、自然数 n に対し、1 から n までの自然数の総乗を言う。これを n! と書く。即ち、

$n! = \prod^{n}_{i=1}i.$

（Πの呼び方は（パイ）と読み、∑（シグマ）の乗算版（総乗）に相当する）

例えば、6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 である。階乗数は n が大きくなるにつれて驚くほど大きな数になるので記号として「！」が使われるようになったという。

この定義では 0! は定義されないが、便宜上 0! = 1 とされる。なぜならば、(n-1)! = n! / n であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、あるいは、n! が異なる n 個のものを並べる順列の総数 _nP_n に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、などの理由からである。

順列では全て互いに異なるn個のものから n 個全てもしくは n-1 個を選んで線状に並べる方法はn!通りあり、全て互いに異なるn個のものから n 個全てを選んで円環状に並べる方法は(n-1)!通りある。

階乗は、自然数を変数とする写像と考えることが出来るが、この定義域を実数に拡張したものにガンマ関数 Γ(x) がある。定義域を正の実数に制限すれば、これは自然数 n に対し、Γ(n+1) = n! を満たす実数値連続関数である。ガンマ関数はさらに負の整数を除く複素数の範囲にまで拡張される。

半整数に対する階乗は、

$(n+1/2)!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0}^n {2k + 1 \over 2}$

とでき、この方法で3.5!は、

$3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.63$

となる。

[編集] 多重階乗

階乗に似たもので、二重階乗がある。これは、自然数 n に対し、n が奇数なら 1 から n までの奇数の総乗、n が偶数なら 2 から n までの偶数の総乗である。これを n!! と書く。あまり使用されないが、逆正弦関数 Arcsin x のテイラー展開などに用いられる。便宜上、0!! = 1 , (-1)!! = 1 とされる。

三重階乗や四重階乗も存在し三重階乗はn!!!またはn!3であらわし、四重階乗はn!!!!またはn!4であらわす。

n重階乗はn!nであらわす。

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[編集] 階乗数と二重階乗数

0! = 1 , 0!! = 1

1! = 1 , 1!! = 1

2! = 2 , 2!! = 2

3! = 6 , 3!! = 3

4! = 24 , 4!! = 8

5! = 120 , 5!! = 15

6! = 720 , 6!! = 48

7! = 5040 , 7!! = 105

8! = 40320 , 8!! = 384

9! = 362880 , 9!! = 945

10! = 3628800 , 10!! = 3840

また階乗数の逆数の総和は

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 2.71828182845904523536028747... = e$

となり自然対数の底eに等しい。

[編集] スターリングの近似公式

大きな数の階乗はスターリングの公式によって近似される。

$n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}=\sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}\qquad(n\gg0)$

例えば、

20! = 2432902008176640000

$20! \approx \sqrt{2\pi}20^{20+\frac{1}{2}}e^{-20}\approx2.422787\times10^{18}$ 　

となる。

[編集] 階乗冪

自然数xの階乗は1からxまでの数の乗積であるという定義が普通であるが、見方を変え、xから1に向かってx個の数の積であると理解してもよい。これを一般化して、x個ではなくn個の数の積としたもの、謂わば不完全な階乗が考えられる。それを普通の階乗と区別するために階乗冪(factorial power)という。階乗冪には下降階乗(falling factorial)と上昇階乗(rising factorial)とがある。

下降階乗はxから負の向きにn個の数の乗積である。

$\begin{align} &x^{\underline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)=\frac{x!}{(x-n)!}\\ &n!=n^{\underline{n}}\\ \end{align}$

上昇階乗はxから正の向きにn個の数の乗積である。

$\begin{align} &x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}\\ &n!=1^{\overline{n}}\\ \end{align}$

定義から階乗冪はすべての複素数に対しても定義できる。その場合、階乗による表記はガンマ関数を用いて書き直す必要がある。

具体的には次のようになる。^[1]^[2]

$x^{\underline{n}}=\frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)} =(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+n)}{\Gamma (-x)}$

$x^{\overline{n}}=\frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)} =(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+1)}{\Gamma (-x-n+1)}$

特に上記二式の右辺の式はxが負の整数の場合に特に有効^[3]である。

上記の式から、下降階乗と上昇階乗の間に次の関係が成り立つことが分かる。

$x^{\underline{n}}=(-1)^{n}\,(-x)^{\overline{n}}$

$x^{\overline{n}}=(-1)^{n}\,(-x)^{\underline{n}}$

[編集] ポッホハマー記号

ポッホハマー記号(Pochhammer symbol)は上昇階乗を表す記号である。

$(x)_n=x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)$

ただし、下降階乗を $(x) n$ で表し、上昇階乗を $(x) (n)$ で表している文献もある^[4]。

[編集] 関連記事

[編集] 脚注および出典

^ 右辺は反射公式による。
^ x=0の場合、階乗冪は当然0であるがガンマ関数による表記はx=0の場合もカバーしている。また、x<n のときの自然数xに対する下降階乗、および-x<n のときの負の整数xに対する上昇階乗も0になるが、それもカバーしている。
^ ガンマ関数は0および負の整数で極を持つため、中辺の式では定義できない。
^ Wolfram Mathworld: Pochhammer Symbol