三進法

三進法（さんしんほう）とは、3 を底（てい）とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

概要

任意の正の数は次のように表すことが出来る。

$a_N3^N + a_{N-1}3^{N-1} + \cdots + a_1 3 + a_0 + {a_{-1}\over 3} + {a_{-2}\over 3^2} + \cdots$

（ a_m は0,1,2のどれか）このとき、

$a_Na_{N-1}\ldots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots$

と書くのが三進法である。

演算

十進法と同様の計算を行う。加算及び乗算の結果は次のようになる。

加算   0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 10 2 2 10 11

乗算   0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 11

減算と除算は十進法と同様であり、加算及び乗算の結果を知っていれば計算できると思われるので省略する。

コンピュータでの使用

現在のコンピュータでは二進法が用いられている。 N 進法を用いた場合のコストが N に比例すると考えると、コストは log_NM に比例すると考えられる。（ M はレジスタが取りうる最大値に1を足したもの。）この式からもっともコストが小さくなるのは、 N=e のときと分る。（ e はネイピア数。）よってコストが最小になる整数は2か3であると分るが、実際に計算すると2より3の方が若干ではあるがコストが小さいことが分る。しかし、極めて小さい差であり、三進法に変更するのは大変な作業のため、現在も二進法が採用されている。

平衡三進法

a_mの値を-1,0,1とする方法である。負の数も表せるため便利であるが、日常使う十進法と勝手が違うためあまり使用されていない。ここでは-1を$\bar{1}$と表示することとする。この表記法は天秤で1g,3g,9g,27gの分銅を用いて1～40gのものの重さを量る方法とよく似ている。

演算

平衡三進法では通常と若干違う演算が必要である。加算、乗算の結果は次のようになる。

加算   $\bar{1}$ $0$ $1$ $\bar{1}$ $\bar{1}1$ $\bar{1}$ $0$ $0$ $\bar{1}$ $0$ $1$ $1$ $0$ $1$ $1\bar{1}$

乗算   $\bar{1}$ $0$ $1$ $\bar{1}$ $1$ $0$ $\bar{1}$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $\bar{1}$ $0$ $1$

上の位に影響を及ぼすのは加算の2つだけである。二進と同様に乗算では上の位に影響を及ぼさない。減算は複雑そうに思えるが、加算の結果を知っていれば難しくない。減算では$\bar{1}$と$1$を入れ替えたものを加算する方法も有効である。ただし、除算は厄介である。

それぞれの表記

十進表記	三進表記	平衡三進法
		正の数	負の数
0	0	$0$
1	1	$1$	$\bar{1}$
2	2	$1\bar{1}$	$\bar{1}1$
3	10	$10$	$\bar{1}0$
4	11	$11$	$\bar{1}\bar{1}$
5	12	$1\bar{1}\bar{1}$	$\bar{1}11$
6	20	$1\bar{1}0$	$\bar{1}10$
7	21	$1\bar{1}1$	$\bar{1}1 \bar{1}$
8	22	$10\bar{1}$	$\bar{1}01$
9	100	$100$	$\bar{1}00$

関連項目

• 二進法
• 広義の記数法

参考文献

ヘンリー・S・ウォーレン、ジュニア『ハッカーのたのしみ』 ISBN 4434046683