逆数

関数 y=1/x のグラフ。0 を除くすべての x について y はその逆数を表している。

逆数 (ぎゃくすう, multiplicative inverse, reciprocal) とは、ある 0 でない数に対し、乗算 (掛け算) した結果が 1 になる数である。すなわち、 0 でない数 $a$ に対する逆数は通常、$1/a$ あるいは $\textstyle a^{-1}$ と表される。

$a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1$

この関係からも分かる通り、分数 $a/b$ の逆数は単に上下を入れ替えた $b/a$ となる。

詳細

0 でない数 $a$ に対して、

$a \times b = b \times a = 1$

となるような数 $b$ を $a$ の逆数と呼ぶ。$a$ の逆数 $b$ は、$1/a$ または $\textstyle a^{-1}$ と表す。このような逆数が存在する場合、同様に $a$ は $b$ の逆数であるとも言える ( $\textstyle a=b^{-1}$ )。

簡単にいくつか例を挙げると、9 の逆数は 1/9 であり、1/9 の逆数は 9 である。また、0.1 の逆数は 10 であり、10 の逆数は 0.1 (つまり 1/10) である。

また、$a$ が 0 であるとき、任意の数 $b$ との積は $ab=0$ となるから、0 については逆数が存在しない。

1 は乗法の単位元であるから、逆数 $\textstyle a^{-1}$ は $a$ の乗法における逆元になっている。一方、加法における逆元は反数である。

0 ではない有理数、実数、複素数においては、逆数は必ず存在する。ただし、自然数、整数においては逆数は必ずしも存在しない (例えば有理数 2 の逆数は 1/2 = 0.5 だが、0.5 は整数でも自然数でもない有理数である)。

一般に、有理数、実数においては、正の数の逆数は正であり、負の数の逆数は負である (グラフを参照。第２象限および第４象限には値が存在しない)。また、複素数の逆数は複素数である。実際、$u,v$ を実数、$i$ を虚数単位 として、複素数 $z=u+iv$ の逆数 $\textstyle z^{-1}$ は、

$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}$

であって、これは複素数である。ここで $\bar{z}$ は、複素数 $z$ の共役複素数 $u-iv$ を表す。

合同式での逆数

詳細は「モジュラ逆数」を参照

合同式において逆数を考えることができる。a × b を m で割ると1余るとき、b をa の m を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。

$a \times b \equiv 1 \pmod{m}$

例えば、 4 × 2 ≡ 1 (mod 7) となるので、法7において2は4の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、0の逆数は存在せず、1や-1の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、m の倍数の逆数は存在せず、(m の倍数 ± 1) の逆数はそれ自身になる。

定義上、a は m と互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、 7 × b ≡ 1 (mod 42) や 12 × b ≡ 1 (mod 4) を満たす b は存在しない。

素数 p を法とする場合、0以外の全ての元が逆数を持つ。法17を例とすると次のようになる。

元	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
逆数	なし	1	9	6	13	7	3	5	15	2	12	14	10	4	11	8	16

合同式での逆数はオイラーの定理によって計算できる。a に逆数 b が存在するならば

$a \times b \equiv 1 \equiv a^{\varphi (m)} = a \times a^{\varphi (m) - 1} \pmod{m}$

なので、

$b \equiv a^{\varphi (m) - 1} \pmod{m}$

（ここで $\varphi$ はオイラーのφ関数）であり、逆に a と m が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、m が素数の場合以下のようになる（フェルマーの小定理から直接導かれる）。

$b \equiv a^{m - 2} \pmod{m}$

また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズー方程式（ディオファントス方程式の一種）が b と n について整数解を持つことと同値である。

$a \times b + m \times n = 1$

この式の解は、a と m が互いに素である場合に求まる。

日本における学校教育

日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、$a$ (実際には具体的な数を用いる) で割ることと $1/a$ を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。

関連項目

• 反比例
• エジプト式分数
• 反数