逆数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索
関数 y=1/x のグラフ。0 を除くすべての x について y はその逆数を表している。

逆数 (ぎゃくすう, multiplicative inverse, reciprocal) とは、ある 0 でないに対し、乗算 (掛け算) した結果が 1 になる数である。すなわち、 0 でない数 a に対する逆数は通常、1/a あるいは \textstyle a^{-1} と表される。

a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1

この関係からも分かる通り、分数 a/b の逆数は単に上下を入れ替えた b/a となる。

詳細[編集]

0 でない数 a に対して、

a \times b = b \times a = 1

となるような数 ba逆数と呼ぶ。a の逆数 b は、1/a または \textstyle a^{-1} と表す。このような逆数が存在する場合、同様に ab の逆数であるとも言える ( \textstyle a=b^{-1} )。

簡単にいくつか例を挙げると、9 の逆数は 1/9 であり、1/9 の逆数は 9 である。また、0.1 の逆数は 10 であり、10 の逆数は 0.1 (つまり 1/10) である。

また、a が 0 であるとき、任意の数 b との積は ab=0 となるから、0 については逆数が存在しない。

1 は乗法の単位元であるから、逆数 \textstyle a^{-1}a の乗法における逆元になっている。一方、加法における逆元は反数である。

0 ではない有理数、実数、複素数においては、逆数は必ず存在する。ただし、自然数整数においては逆数は必ずしも存在しない (例えば有理数 2 の逆数は 1/2 = 0.5 だが、0.5 は整数でも自然数でもない有理数である)。

一般に、有理数実数においては、正の数の逆数は正であり、負の数の逆数は負である (グラフを参照。第2象限および第4象限には値が存在しない)。また、複素数の逆数は複素数である。実際、u,v を実数、i虚数単位 として、複素数 z=u+iv の逆数 \textstyle z^{-1} は、

z^{-1}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}

であって、これは複素数である。ここで \bar{z} は、複素数 z共役複素数 u-iv を表す。

合同式での逆数[編集]

合同式において逆数を考えることができる。a × bm で割ると1余るとき、bam を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。

a \times b \equiv 1 \pmod{m}

例えば、 4 × 2 ≡ 1 (mod 7) となるので、法7において2は4の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、0の逆数は存在せず、1や-1の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、m の倍数の逆数は存在せず、(m の倍数 ± 1) の逆数はそれ自身になる。

定義上、am互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、 7 × b ≡ 1 (mod 42) や 12 × b ≡ 1 (mod 4) を満たす b は存在しない。

素数 p を法とする場合、0以外の全ての元が逆数を持つ。法17を例とすると次のようになる。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
逆数 なし 1 9 6 13 7 3 5 15 2 12 14 10 4 11 8 16

合同式での逆数はオイラーの定理によって計算できる。a に逆数 b が存在するならば

a \times b \equiv 1 \equiv a^{\varphi (m)} = a \times a^{\varphi (m) - 1} \pmod{m}

なので、

b \equiv a^{\varphi (m) - 1} \pmod{m}

(ここで \varphiオイラーのφ関数)であり、逆に am が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、m が素数の場合以下のようになる(フェルマーの小定理から直接導かれる)。

b \equiv a^{m - 2} \pmod{m}

また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズー方程式英語版ディオファントス方程式の一種)が bn について整数解を持つことと同値である。

a \times b + m \times n = 1

この式の解は、am互いに素である場合に求まる。

日本における学校教育[編集]

日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、a (実際には具体的な数を用いる) で割ることと 1/a を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。

関連項目[編集]