逆数

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関数 y = 1/x のグラフ。0 を除くすべての x について y はその逆数を表している。

逆数(ぎゃくすう、: reciprocal)とは、ある数に掛け算した結果が 1 となる数である。すなわち、数 x の逆数 y とは次のような関係を満たす。

x \times y = y \times x = 1.

通常、x の逆数は分数の記法を用いて 1/x のように表されるか、の記法を用いて x−1 のように表される。

1 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元(じょうほうぎゃくげん、: multiplicative inverse)の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。

上述の式から明らかなように、xy の役割を入れ替えれば、xy の逆数であると言える。従って、x の逆数が y であるとき y の逆数は x である。 x0 である場合、任意の数との積は 0 になるため、(0 ≠ 1 であれば)0 に対する逆数は存在しない。 また、任意の x について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は x = y = 1 以外には存在しない。0 を除く任意の数 x について逆数が常に存在するようなものには、有理数実数複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合をと呼ぶ。

逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。

1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの(代数的構造)はループ英語版と呼ばれる。

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以下に具体例をいくつか挙げる。ここで eネイピア数i虚数単位r複素数絶対値θ は複素数の偏角を表す。また、z は複素数 z共役複素数|a| は数 a の絶対値を表す。

  • 9 の逆数は 1/9。同様に 1/9 の逆数は 9
  • 0.3 の逆数は 1/0.3 = 10/3。同様に 10/3 の逆数は 3/10 = 0.3
  • −5 の逆数は 1/−5 = −1/5 = −0.2
  • −|a| の逆数は 1/−|a| = −1/|a|
  • 3 + 4i の逆数は 1/3 + 4i = 3 − 4i/25
  • re の逆数は (re)−1 = 1/re
  • 複素数 z の逆数は 1/z = 1/|z|2z

合同式での逆数[編集]

合同式において逆数を考えることができる。a × bm で割ると 1 余るとき、bam を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。

a \times b \equiv 1 \pmod{m}.

例えば、4 × 2 ≡ 1 (mod 7) となるので、法 7 において 24 の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、0 の逆数は存在せず、1−1 の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、m の倍数の逆数は存在せず、(km ± 1) の逆数はそれ自身になる。

定義上、am互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、7 × b ≡ 1 (mod 42)12 × b ≡ 1 (mod 4) を満たす b は存在しない。

素数 p を法とする場合、0 以外の全ての元が逆数を持つ。法 17 を例とすると次のようになる。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
逆数 なし 1 9 6 13 7 3 5 15 2 12 14 10 4 11 8 16

合同式での逆数はオイラーの定理によって計算できる。a に逆数 b が存在するならば

a \times b \equiv 1 \equiv a^{\varphi (m)} = a \times a^{\varphi (m) - 1} \pmod{m}

なので、

b \equiv a^{\varphi (m) - 1} \pmod{m}

(ここで φオイラーのφ関数)であり、逆に am が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、m が素数の場合以下のようになる(フェルマーの小定理から直接導かれる)。

b \equiv a^{m - 2} \pmod{m}.

また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズーの等式ディオファントス方程式の一種)が bn について整数解を持つことと同値である。

a \times b + m \times n = 1.

この式の解は、am互いに素である場合、かつその場合に限り存在する。

日本における学校教育[編集]

日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、x(実際には具体的な数を用いる)で割ることと 1/x を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。

関連項目[編集]