一次関数

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いくつかの直線の式:赤と青は傾きが等しく、赤と緑は同じ y-切片を持つ。

数学における一次関数(いちじかんすう、linear function)は、狭義には一変数の一次多項式関数 (first-degree polynomial function of one variable)、つまり次数 1 の一変数多項式が定める関数 (polynomial function of degree one)

x \mapsto ax+b

である。ここで、a, b は定数であり、矢印は x に対して ax + b を対応させる関数であることを意味する。実数の範囲で扱うことが多いが、広義には複素数やその他のあるいは作用を持つ加群で考えることもある。実数の範囲で考えると、一次関数のグラフ直線である。

一次関数は線型関数(linear function の直訳)、アフィン関数 (affine function) ともいい、関数の部分は函数とも書く。広義の一次関数は、ベクトルにベクトルを対応させる写像に一般化したものであると見ることができる。これはアフィン写像とも呼ばれるが、線型写像というとその特別な場合を指すことが多い。

なお、一次分数関数

x \mapsto (ax+b)/(cx+d)

も単に一次関数と呼ばれる場合がある[1]

定義[編集]

デカルトの直交座標が与えられた平面上の解析幾何学において、一次関数は二つの実定数 a, b と実変数 x を用いて ax + b で表され、

f_{a,b}\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R};\ x \mapsto f_{a,b}(x) = ax + b

なる写像を定める。右辺は見かけ上一次の x に関する多項式であるが、実際に「一次」であることを要請するためにしばしば「a ≠ 0」が(明示的あるいは暗黙の)条件として加えられる。

一次関数 f(x) = ax + b のグラフ

 \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = f(x)\}

xy-直交座標平面 R2 において直線を描くため、一次関数は「直線の式」(あるいは単に「直線」)としても知られ、言葉の濫用で(一次函数それ自身とそのグラフとをとくに区別することなく扱って)直線 y = ax + b などともいう。

各軸における切片

一次関数 ax + b を特徴付けるふたつの定数について、a が増減すると対応する直線の「傾き」が急になったり緩やかになったりするので、a はこの直線の傾き (slope, gradient) と呼ばれ、b は対応する直線と y-軸との交点の座標に対応するがゆえに y-切片 (y-intercept) と呼ばれる。傾き aの場合は関数が単調増加であるため(標準的な表し方で)グラフは右上がりになり、負の場合は単調減少であるため右下がりになる。いずれの場合も、a の絶対値が大きくなるほど傾きが「急」になる。y-切片 b が増減すると対応する直線は座標平面を上下に平行移動する。

なお、直線と x-軸の交点である x-切片は ax + b零点、つまり ax + b = 0 を満たす x の値 −b/a である。

x-軸に垂直な直線は一次函数ではない
x-軸に平行な直線は定数函数

平面における一次関数と直線の式[編集]

傾き・切片標準形[編集]

一次関数の表す直線の式 y = ax + b は、傾きと y-切片を与えることによって一意的に決定される「傾き・切片(標準)形」(slope-intercept form) であり、座標平面上で直線を表す式としては他に「点・傾き(標準)形」(point-slope form) である

y-y_0 = a(x-x_0)

(点 (x0, y0) を通る、ただ一つの傾き a の直線)や「一般形」(general form)

Ax+By+C=0

が挙げられる(平面における直線の標準形)。 一般形は平面上のあらゆる直線を表すだけの能力を持ち、これには x-軸に垂直(y-軸に平行)な直線 x = c なども含まれるが、この種の直線の傾きは定まらないため傾きを明示的に利用する標準形では表せないし、一次関数どころか関数でさえない。また、x-軸に平行な傾き 0 の直線は、定数関数に対応しているのであり、一次関数 ax + b の定義に a ≠ 0 を仮定するならば、これも一次関数では表せないことになる。

二点標準形[編集]

傾きは任意の二点間での各成分の増分の比

一次関数の傾きは通る二点が分かれば一意的に決定できるので、一次関数はそれが通る二点が決まればただひとつに決まる。一次関数 f(x) = ax + b が二点 (x1, y1), (x2, y2) を通るとき、[y の増分 Δy]/[x の増分 Δx] は点の取り方に依らず一定で、傾きに等しく

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

が成り立つ。この直線は点 (x1, y1) を通る(あるいは点 (x2, y2) を通る)のだから点・傾き標準形と合わせて考えれば、二点標準形が得られ、この一次関数は

f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) + y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_2) + y_2

と書くことができる。

直線の成す角の正接と傾き[編集]

傾きは直線が x-軸の正の向き(始線)と成す角の正接に等しい。

直線 y = ax + bx-軸の正の向きと成す角(方向角)が α であるとすると、この直線の傾きは正接関数を用いて

a = \tan(\alpha)

と書くことができる。この意味で、傾き a は直線の方向を決める方向ベクトルを与えている。さらに別の直線 y = cx + dx-軸の正の向きと成す角が γ であるとすれば、この二つの直線の成す角 θ := |α − γ| は

\tan(\theta) = \tan(\alpha - \gamma) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\gamma)}{1 + \tan(\alpha)\tan(\gamma)} = \frac{a-c}{1+ac}

から求まる。とくに角 |α − γ| が直角 π/2 であるとき、この式は

\tan(\alpha)\tan(\alpha\pm \pi/2) = -1

の形に書けるから、一次関数が表す直線の直交条件を「傾きの積が − 1 に等しい」と述べることもできる。

解析学[編集]

一次関数 f(x) = ax + b に対して、その導関数は

f'(x) = a

という定数関数である。特に傾き aa = f′(0) として求められる。b = f(0) であるから、この一次関数 f

f(x) =\frac{ f'(0)x}{1!} +\frac{f(0)}{0!}

の形に書けば、これは一次関数のテイラー展開である。また展開の中心を x = x0 に変更すれば

f(x) = f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)

となるが、これは上で通る二点 (x1, y1), (x2, y2) から定まる式として述べたものの、一方を他方に近づけた極限に等しい。あるいはこれは一次函数に関する平均値の定理を述べたものと看做すこともできる。

また f の原始関数の一つは

F(x) := \frac{ax^2}{2} + bx

で与えられる。

一般化[編集]

多変数の一次多項式が定める関数

f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\ (x_1,\cdots,x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots+a_nx_n+b

も一次関数という。b = 0 のときは斉一次函数あるいは一次形式 (linear form) という。この関数のグラフ

 \{(x_1,\cdots,x_n,y) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid y = f(x_1,\cdots,x_n)\}

は、(n + 1) 次元ユークリッド空間 Rn+1 において超平面(余次元 1 のアフィン部分空間)を描く。このような函数に対しても、上に述べたことは(平面における各概念の高次元における適当な対応物を考えることにより)ほとんどそのままの形で通用する。

より一般に、n 次元ベクトル空間 Vn から m 次元ベクトル空間 Vm への一次関数を考えることもできる。xn-次元ベクトル値の変数、bm-次元の定ベクトル、Am-行 n-列の行列とするとき、

V^n \to V^m;\ x \mapsto Ax + b

アフィン写像という。特に、b = 0 のときかつそのときに限り、和とスカラー倍を保つ線型写像となる。

実数全体の成す体 R を任意の可換環 K で置き換えて

R^n \to R;\ (x_1,\cdots,x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots+a_nx_n+b\quad(a_i,b\in R)

を考えることもできるし、行列環 Mn やその部分環、あるいは一般線型群 GLn やその部分群を、一般の環 R や群 G で置き換え、ベクトル空間 V をそれらの環や群が作用する加群 M で置き換えれば、

M \to M;\ x \mapsto Ax + b\quad(A\in R, b\in M)

のようなものを考えることもできる。このようなものはアフィン群あるいは俗に ax + b 群と呼ばれ、この群の上の調和解析は、ウェーブレット解析として知られる。

一次函数の演算[編集]

係数は適当な体、あるいは整域 K にとるものとする。ふたつの一次函数 f, g (f(x) = ax + b, g(x) = cx + d) に対して、それらの和 f + g を点ごとの値の和

(f+g)(x) := f(x) + g(x)\ (= (a+c)x + (b+d))

によって定めると、これは再び一次函数を与える。一次函数の全体は可換群を成すことを確かめるのは容易である。また、定数倍 λf

(\lambda f)(x) := \lambda(f(x))\ (= \lambda ax + \lambda b)

で与えれば、一次函数の全体が 1 と x の張る二次元のベクトル空間となることがわかる。一方、点ごとの積

(f\cdot g)(x) := f(x)g(x)\ (= acx^2 + (ad+bc)x + bd)

は(fg の何れかが定数函数でないかぎり)もはや一次函数ではないが、合成

(f\circ g)(x) := f(g(x))\ (= acx + (ad + b))

は再び一次函数であって、一次函数の全体は多元環の構造を持つことが示せる。

脚注[編集]

  1. ^ 平凡社世界大百科事典』1988年度版、「一次関数」の項

関連項目[編集]