一次関数

一次関数（いちじかんすう、polynomial function of degree one, linear function）とは、x を独立変数、y を従属変数とし、この二つの変数の間の関係が二つの定数 a, b を用いて

$y = ax + b \quad (a \ne 0)$

と表される対応規則（写像）x → y のことである。一次関数の名は、次数が 1 の多項式によって定められる関数という意味である。

ここで、変数 x, y はベクトルなどでも良い。x, y がベクトルで、サイズがそれぞれ n, m であれば、a は m 行 n 列の行列で、b は y と同じサイズのベクトルである。

一次関数は写像としては、b = 0 のとき線形写像であり、そうでないときアフィン写像である。

[編集] 性質

係数 a, b が実数値の定数で、が実数値をとる変数とすると、一次関数 y = ax + b、すなわち実数全体のなす集合 R から R への写像

$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R};\, x \mapsto ax + b$

$\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = f(x)\}$

は xy-座標系 R² において直線を描き、a が傾き、b が y 切片となる。

一次関数は変化の割合（y の増加量/x の増加量）が一定で、傾きに等しい。一次関数のグラフは、直線とy 軸との交点のy 座標が切片に等しい。