自乗

自然数に対する自乗

自乗（じじょう）、二乗（にじょう、じじょう）、平方（へいほう）は、ある数を自らと掛ける演算である。あるいは言い換えると、2乗、つまり、2で冪を取る演算である。

記法 [編集]

専用の記法はなく、冪の記法を使い、x の自乗を x² と表す。

自乗は自然数、整数、実数、複素数に対し閉じている。つまり、自然数の自乗は自然数、……（以下同様）である。
積・商の自乗は自乗の積・商である。

$(xy) ^ 2 = x^2 y^2\,$

$\left ( \frac x y \right ) ^ 2 = \frac{ x^2 }{ y^2 }$
指数関数の自乗は元の数の2倍の指数関数である。正の実数の自乗の対数は対数の2倍である。

$(a ^ x)^ 2 = a ^ {2x} \,$

$\log x^2 = 2 \log x \,$
和の自乗は、二項係数を係数に持つ多項式で表される。

$(x + y)^ 2 = \sum_{k=0}^2 {2 \choose k} x^k y^{2-k} = x^2 + 2xy + y^2 \,$
複素数の自乗は、絶対値も自乗になり、偏角は2倍になる。

$|z^2| = |z|^2, \quad \arg z^2 = 2 \arg z$

導出: $\left\{ a (\cos \theta + i \sin \theta) \right\} ^2 = \left(a e^{i \theta}\right)^2 = a^2 e^{i \cdot 2 \theta} = a ^ 2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)\,$
0のみが自乗して0となる。

$x ^ 2 = 0 \rightarrow x = 0$

－1倍の自乗は元の数の自乗である。つまり、関数としての自乗は偶関数である。

$(-x)^2 = x^2\,$
実数の自乗は非負の実数である。また、0のみが自乗が0となるので、0以外の実数の自乗は正の実数である。

$x ^ 2 \ge 0$ 、等号は $x = 0\,$ の場合のみ
平方根の定義より、平方根の自乗は元の数である。ただし、自乗の平方根は（非0の平方根は2つあるため）元の数とは限らない。

$\left( \sqrt x \right) ^ 2 = x$
単位関数を積分すると自乗の半分となる。

$\int xdx = \frac {x^2} 2$

「平方数」を参照

自然数の自乗は平方数と呼ばれる。

正方形の面積は、辺の長さの自乗である。一般に、面積はある長さの自乗に比例する形で表すことができる。

$S_\square = a^2, \, \quad S_\bigcirc = \pi r^2, \quad S_\triangle = \frac {\sqrt 3} {4} a^2, \quad \mathrm{etc.}\,$
比例関数を積分すると自乗の比例となることから、積分を暗黙に含む物理現象の公式には自乗が現れる。
- フックの法則が成り立つ場合、エネルギーは変位の自乗に比例する。
- 初速0の等加速度運動では、移動距離は経過時間の自乗に比例する。
関数としての自乗は、偶関数、x ≧ 0 で単調増加かつ x ≦ 0 では単調減少、最小値が f (0) = 0 、x = 0 を含むあらゆる点で無限回微分可能、という性質を持ち、これらは偏差や誤差を扱うのに便利な性質である。分散、最小二乗法などは自乗を使っているが、仮に自乗以外の関数を使った場合、算出や応用がはるかに困難になる。

行列に対しても、自乗は自らとの積として定義される。ただし、行列の乗算では左オペランドの列数と右オペランドの行数が一致しなければならないので、行列の自乗は正方行列に対してのみ定義できる。

自乗して0になるのは0のみであるのに対し、自乗して零行列 O になるのは零行列とは限らず、任意の x, y に対し

$\begin{pmatrix} xy & y^2 \\ -x^2 & -xy \end{pmatrix} ^ 2 = O$

が成り立つ。なお、零行列に何をかけても零行列なので、この形の行列は自乗に限らず2以上の何乗しても零行列である。

ほとんどのプロセッサは自乗専用の命令をもたず、自乗は乗算命令で実現される。

仮に自乗を冪関数を使って「2での冪」として計算すると、乗算として計算するより大幅に多くの計算コストを要する。最適化機能を備えたコンパイラは、「2での冪」を「自らとの積」に最適化する。