パウリ行列

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パウリ行列(ぱうりぎょうれつ)とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである。\sigma(シグマ)で表記されることが多い。量子力学スピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。


\sigma_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}


\sigma_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}


\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}

添字は数学では1, 2, 3が使われるが物理学ではx, y, zが使われる。また、座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

これに単位行列を含めた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。


\sigma_0 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}

基本的な性質[編集]

パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリー行列でもある。

パウリ行列\sigma_k(k=1,2,3)トレース(Tr)と行列式(det)は次のとおり。


\operatorname{Tr}(\sigma_k) = 0


\det(\sigma_k) = -1

ちなみに、\sigma_0(単位行列)では 
\operatorname{Tr}(\sigma_0) = 2
, 
\det(\sigma_0) = 1
である。

パウリ行列の積[編集]

パウリ行列の積については

 \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0
 \sigma_1 \sigma_2 = i \sigma_3, \quad
        \sigma_2 \sigma_3 = i \sigma_1, \quad
        \sigma_3 \sigma_1 = i \sigma_2
 \sigma_i \sigma_j = -\sigma_j \sigma_i \qquad (i, j = 1,2,3,\ i \ne j)

が成り立つ。これは定義から直接計算すればわかる。これをまとめて

 \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \sigma_0 + i \epsilon_{ijk} \sigma_k \qquad (i,j,k = 1,2,3) \,

と書くことができる。これより交換関係と反交換関係は

 [ \sigma_i, \sigma_j ] = 2i \epsilon_{ijk} \sigma_k \,
 \{ \sigma_i, \sigma_j \} = 2\delta_{ij} \sigma_0 \,

となる。

複素行列の実係数展開[編集]

任意の2×2複素行列はパウリ行列(単位行列を含めた4つの行列)の線形結合で書ける。このとき係数は一般に複素数である。

また、任意の2×2エルミート行列をパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

関連項目[編集]