主値

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複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値とはその関数の分枝 (en) から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。

必要性[編集]

複素数の対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す写像である。

e^w = z\,\!

するとたとえば、\log i の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を探すことになる。

e^w = i\,\!

オイラーの公式から、i\pi /2 が一つの解であることは明らかである。しかし、解はそれだけではない。

関数の引数とした点 (0, i)ガウス平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。(1, 0) から反時計回りに \pi /2 ラジアンだけ回転した点が (0, i) になるが、ここからさらに 2\pi 回転すると、また (0, i) になる。したがってi(\pi/2+2\pi)\log i の値であると考えることができ、また 2\pi だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。

しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり \log i の値は一意に定まらない、と言うことである。log z は、k を任意の整数として

\log{z} = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{arg}\ z+2\pi k\right)

と書ける。k の値は分岐点 (en) として知られている、多価関数が一価になる点を決めることになる。

ここで k=0 に相当する分枝を主枝 (principal branch, en)、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。

一般化[編集]

一般に f(z) が多価関数の時、f の主値を

\mathrm{pv}\ f(z)

と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。

主な関数の主値[編集]

複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。

対数関数[編集]

対数関数の例は上述したが、その形は

\log{z} = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{arg}\ z\right)

である。ここで \mathrm{arg} z が多価である。この偏角の取るうる範囲を -\pi < \mathrm{arg} z \le \pi に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの (範囲の限定された) 偏角を、大文字を使って \mathrm{Arg} z と書く。関数の定義に \mathrm{arg} z の代わりに \mathrm{Arg} z を使うことで、対数関数が一価になり、

\mathrm{pv}\ \log{z} = \mathrm{Log}\ z = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{Arg}\ z\right).

と書くことができるようになる。

指数関数[編集]

\alpha を複素数 ( \alpha \in \mathbb{C}) とするときの指数 z ^\alpha\, について考えるとき、一般には zαeα log z として定義する。ここで Log ではなく log を使うと、eα log z は多価関数となる。Log を使えば以下の形で zα の主値を得ることができる。

\mathrm{pv}\ z^\alpha = e^{\alpha \mathrm{Log}\ z}

平方根[編集]

複素数 z=r e^{\phi i}\,平方根の主値は以下のようになる。

\mathrm{pv} \sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i \phi / 2}

ここで偏角-\pi < \phi < \pi \, の範囲である。

複素数の偏角[編集]

atanatan2 の比較

ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。

  • [0, 2\pi)
  • (-\pi, \pi]

逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。

関連項目[編集]