整関数

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整関数(せいかんすう、entire function, integral function)は、複素数平面 C 上で定義された、任意の点で正則な関数のこと。すなわち、写像 f: CC で、任意の ζC において微分係数 f' (ζ) が存在する(微分可能である)もののこと。

無限遠点 ∞ を付け加えた空間上の関数と見ているとき、そこで正則でなくても良い。

定数でない多項式関数は、∞ を極とする整関数である。逆に無限遠点 ∞がである場合、多項式になる。多項式でない整関数は ∞ を孤立真性特異点としてもち、超越整関数 (transcendental entire function) と呼ばれる。

有界な整関数、すなわち、∞ が除去可能な特異点である場合は、定数になる(リウヴィルの定理)。

整関数の例[編集]

(zは複素変数)

注意[編集]

一部の高校生用参考書などで、整式(多項式)によって定義される(実数値)関数の意味で整関数と呼ぶことがあるようだが、これは誤りである。 この誤りが多発する理由の1つとして、高等学校学習指導要領解説の数学編において、整式で表される関数を「整関数」と記述している箇所があることが挙げられる。

関連項目[編集]