ド・ラームコホモロジー

数学において、ド・ラームコホモロジー（ジョージ・ド・ラームの名前をとって）とは、代数トポロジーと微分トポロジーの双方に属するツールで、コホモロジー類の計算や具体的表現に適用する形式の中で微分可能多様体上の基本的トポロジカルな情報を表現することができる．ド・ラームコホモロジーは、（多様体の）詳しい性質を反映する微分形式の存在を基礎としたコホモロジー論である．

定義

ド・ラーム複体 とは、ある微分可能多様体 M 上の微分形式として外微分を持っているときの外微分形式のコチェイン複体のことをいう．

$0 \to \Omega^0(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^1(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^2(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^3(M) \to \cdots$

ここに Ω⁰(M) は M 上の微分可能函数の空間とし、Ω¹(M) を1-形式の空間、他もそのように定義する．外微分の下の他の形式の像である形式に定数函数 $\Omega^0(M)$ を加える微分形式全体は、完全 といい、外微分がゼロとなる形式は 閉 じているという（閉じた微分形式、完全微分形式を参照）．従って、$d^{2}= 0$ という関係式は、完全形式は閉形式であることを意味する．

しかし、逆は一般的には正しくなく、閉形式は必ずしも完全形式ではない．単純であるが重要な例としては、単位円の角度を測る1-形式があり、伝統的に dθ と書く（閉で完全な微分形式として記述される）．微分すると dθ となる円全体で定義されるような作用函数 θ は存在しない．円を正の方向へ一回回るたびに 2π だけ増えることは、一つの値 θ を取ることができないことを意味する．しかし、まさに一つの点のみを取り除くことによってトポロジー的に変えることができる．

ド・ラームコホモロジーの考え方は、多様体上の閉微分形式を分類することである．この分類は、$\Omega^k(M)$ の中の2つの閉形式 α と β を完全形式で差異を比べる、すなわち、$\alpha-\beta$ が完全形式であれば、α と β はコホモロガスであるということで分類できる．この分類は $\Omega^k(M)$ の閉形式の空間の同値関係を引き起こす．従って、$k$ 番目の ド・ラームコホモロジー群 $H^{k}_{\mathrm{dR}}(M)$ をこの同値類の集合として、つまり、完全形式での差異を同一視した $\Omega^k(M)$ の中の同値類の集合として定義する．

n 成分連結の任意の多様体 M に対し、

$H^{0}_{\mathrm{dR}}(M) \cong \mathbf{R}^n.$

が成り立つ．これは、ゼロ微分（つまり局所定数）を持つ M 上の微分可能函数は M の連結成分の各々の上で定数であるという事実から従う．

ド・ラームコホモロジーの計算

ゼロコホモロジーとマイヤー・ヴィートリス完全系列に関する上記の事実を使い、一般的なド・ラームコホモロジーを探すことができる．他の有益な事実は、ド・ラームコホモロジーはホモトピー同値という事実である．計算方法が不明なときは、次のように共通のトポロジカルな対象に対しド・ラームコホモロジーを計算することができる．

n-球（n-sphere）：

n-球に対し、開区間の積を同時に考えて、n > 0, m ≥ 0 とし、I を開実数の区間とする．

$H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^n \times I^m) \simeq \begin{cases} \mathbf{R} & \mbox{if } k = 0,n, \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n. \end{cases}$

が成立する．

n-トーラス（n-torus）：

同様に、n > 0 に対し、次を得る．

$H_{\mathrm{dR}}^{k}(T^n) \simeq \mathbf{R}^{n \choose k}.$

穴のあいたユークリッド空間：

穴のあいたユークリッド空間とは、原点を取り除いた単純なユークリッド空間のことを言う．n > 0 に対し、次を得る．

$H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbf{R}^n - \{0\})$	$\simeq \begin{cases} \mathbf{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}$
	$\simeq H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^{n-1}).$

メビウスの帯、M：

メビウスの帯は 1-球(1-sphere)へ収縮変形することができるという事実から、次が従う．

$H_{\mathrm{dR}}^{k}(M) \simeq H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^1).$

ド・ラームの定理

ストークスの定理は、ド・ラームコホモロジーと鎖複体 (chain complex)のホモロジーとの間の双対の表現である．この定理は、積分を経由した微分形式と鎖 (chain)のペアリングがド・ラームコホモロジー $H^{k}_{\mathrm{dR}}(M)$ から特異コホモロジー H^k(M; R) への準同型を与えることを意味する．1931年、ジョージ・ド・ラームにより証明されたド・ラームの定理は、微分可能多様体 M に対し、この写像が実際、同型となることを言っている．

ウェッジ積は環の構造を持つこれらの群の直和を与える．さらにこの定理は、特異コホモロジーの積をカップ積とすると、2つのコホモロジー環は（次数付き環として）同型となることを言っている．

層係数ド・ラームコホモロジー

ド・ラームコホモロジーは、チェックコホモロジー H^*(U,F) と同型である．ここに F は次のようにして決定されるアーベル群の層とする．M の全ての連結な開集合 U に対して F(U) = R となり、U ⊂ V となる開集合 U と V に対し群の写像 res_V,U : F(V) → F(U) は R の同一視写像で与えられ、ここに U は M の開被覆である．（すなわち 開被覆 U の中の任意の開集合は、一つの点へ可縮であり、U の任意の集合の交叉は食う集合か一つの点へ可縮であるかである）．

他の言い方をすると、M が次元 m のコンパクトな[[C^m+1級]]の多様体であれば、各々の k ≤ m に対し、次の同型を得る．

$H^k_{\mathrm{dR}}(M,\mathbf{R})\cong \check{H}^k(M,\mathbf{R})$

ここに、左辺は k-番目のド・ラームコホモロジー群であり、右辺はファイバー R を持つ定数層のチェックコホモロジーである．

証明

Ω^k で M 上の k-形式の芽の層を表すとする（Ω⁰ を Mの上の C^m + 1 級函数を表すとする）．ポアンカレの補題によって、次の層の系列は完全系列となる（層のカテゴリの中で）

$0 \to \mathbf{R} \to \Omega^0 \,\xrightarrow{d}\, \Omega^1 \,\xrightarrow{d}\, \Omega^2\,\xrightarrow{d} \dots \xrightarrow{d}\, \Omega^m \to 0.$

ここで、上記の系列は短系列へと分解する．

$0 \to d\Omega^{k-1} \,\xrightarrow{\mathrm{incl}}\, \Omega^k \,\xrightarrow{d}\, d\Omega^k\to 0.$

これらの各々の短系列は、コホモロジーの長系列を引き起こす．

多様体上の C^m + 1 級函数は、単位の分割を持っているので、層係数コホモロジー Hⁱ(Ω^k) は i > 0 に対してゼロとなる．従って、長いコホモロジー系列自体は、同型の鎖体へと分解する．鎖体の最後の端はチェックコホモロジーであり、反対の端はド・ラームコホモロジーである．

関連するアイデア

ド・ラームコホモロジーは、ドルボーコホモロジー、ホッジ理論、アティヤ・シンガー指数定理など、多くの数学的なアイデアを呼び起こした. しかしながら、もっと古典的な脈絡でさえ、この定理は多くの発展を呼び起こす．まず、ホッジ理論は、調和形式と完全形式の差異を同一視した場合の閉形式（の類）からなるコホモロジーの間に同型があることを証明した．このことは、 調和形式 と ホッジの定理 の適切な定義に反映されている．さらに詳しいことはホッジ理論を参照．

調和形式

調和微分を参照

$M$ をコンパクトなリーマン多様体とすると、$H^{k}_{\mathrm{dR}}(M)$ の各々の同値類はひとつだけ調和形式を含む．すなわち、与えられて閉形式の同値類の全ての元 ω は次の形に書くことができる．

$\omega = d\alpha+\gamma \,$

ここに $\alpha$ はある微分形式で、γ は調和形式、つまり Δγ=0 とする．

コンパクトで連結なリーマン多様体の上の任意の調和函数は定数である．このようにして、特別に注目すべき元は多様体の全てのコホモロジー同値な形式の最大値（最小値）であると理解することができる．例えば、2-トーラス上では、定数の1-形式は、（同じ長さで）同じ方向を揃って向いた「毛」のようなものと考えることもできるかもしれない．この場合には、2つのコホモロジー的に異なった方向があり、他はこれらの線型結合である．特に、このことは2-トーラスの第一ベッチ数は 2 であることを意味する．より一般的には、n-次元トーラス Tⁿ 上では、k-形式の様々な方向を考えることができて、$H^k_{\text{dR}}(T^n)$ のベクトル基底を作ることに使うことにできる k 個の方向を n 個から選ぶ選び方がある．従って、n-トーラスのド・ラームコホモロジー群の k-番目のベッチ数は、n から k 個を選び出す選び方の数となる．

さらに詳しくは、微分可能多様体 M に対して、あるリーマン計量を与えることができて、ラプラシアン Δ は次で定義される．

$\Delta=d\delta+\delta d \,$

ここの d は外微分であり、δ は余微分である．ラプラシアンは微分形式の外微分代数上に作用する（次数付き） 線型 微分作用素として同次(homogeneous)である．この次数 k の各々の成分に別々に作用するとみることができる．

M がコンパクトで向き付け可能であれば、（ホッジ理論により）k-形式の空間上に作用するラプラシアンの核の次元は、次数 k のド・ラームコホモロジー群の次元に等しくなる．ラプラシアンは、閉形式の各々のコホモロジー類の中の調和形式を一意に取り出す．特に M 上の全ての調和 k-形式の空間は H^k(M;R) に同型となる．各々のそれらの空間の次元は有限で、k-番目のベッチ数で与えられる．

ホッジ分解

$\delta$ を余微分（codifferential）とすると、微分形式 $\omega$ は $\delta\omega=0$ の時は 余閉 という．また、ある微分形式 $\alpha$ に対して $\omega=\delta\alpha$ であれば 余完全 という．ホッジ分解（Hodge decomposition）は任意の k-形式は3つの[[$L^2$]]に分解することができる.

$\omega = d\alpha +\delta \beta + \gamma \,$

ここに $\gamma$ は調和形式 $\Delta\gamma=0$ である．このことは、完全と余完全は直交するという考え方から従う．従って、直交する成分は閉形式と余閉形式の両方の形式、つまり調和形式からなる．ここで、直交するとは $\Omega^k(M)$ の上の[[$L^2$]]内積によって定義される.

$(\alpha,\beta)=\int_M \alpha \wedge *\beta.$

分解の詳細な定義と証明は、ソボレフ空間上で定式化することが要求される．そこでの考え方は、ソボレフ空間が二乗可積分性の考え方と微分の考え方の双方に対して自然な設定をもたらすことで、これを使いコンパクトなサポートを要求するという問題のいくつかを克服することができる．

関連項目

• ホッジ理論
• ホッジ構造
• ケーラー多様体

参考文献

• Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3 
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR1288523 
• Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6