コホモロジー環

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数学では、特に代数トポロジーでは、位相空間 X のコホモロジー環(cohomology ring)は、環の積としてカップ積英語版を持ち、X のコホモロジー英語版群から作られるである。ここに「コホモロジー」とは、通常特異コホモロジー英語版(singular cohomology)として理解されるが、しかし、環の構造はド・ラームコホモロジーのような他の理論の中にも存在する。コホモロジー環も函手的でもあり、空間の連続写像に対しコホモロジー上の環準同型英語版を得る。この函手は反変的である。

特に、X 上の可換環 R(典型的には、R は ZnZQR、あるいは C)を係数として持つコホモロジー群 Hk(X;R) に対し、カップ積英語版を定義でき、次の形を得る。

H^k(X;R) \times H^\ell(X;R) \to H^{k+\ell}(X; R).

カップ積は次のコホモロジー群の直和英語版の上の積を与える。

H^\bullet(X;R) = \bigoplus_{k\in\mathbb{N}} H^k(X; R).

この積は、群 H(X;R) を環とする。事実、自然な N-次数付き環英語版で次数として非負な整数 k を持っている。カップ積はこの次数と整合している。

コホモロジー環は、カップ積が次数により決定される符号を度外視する(upto)と可換であるという意味で、次数付きで可換英語版である。特に、次数 k と 次数 ℓ の純粋な元に対し、次を得る。

(\alpha^k \smile \beta^\ell) = (-1)^{k\ell}(\beta^\ell \smile \alpha^k).

コホモロジー環から得られる数値的な不変量はカップの長さ(cup-length)であり、この不変量は掛けたときの次数が ≥ 1 の次数付きの元の最大値を意味し、ゼロではないという結果をもたらす。例えば、複素射影空間英語版では、カップ積がその複素次元に等しいカップ長さを持つ。

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  • \operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^n; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]/(\alpha^{n+1}) ここに |\alpha|=1 である。
  • \operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^\infty; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha] ここに |\alpha|=1 である。
  • キネット公式(Kunneth formula)により、\mathbb{R}P^\infty の n 積の mod 2 コホモロジー環は、\mathbb{F}_2 の中に係数を持つ n 変数の多項式環である。

参照項目[編集]

参考文献[編集]