ポアンカレの補題

数学において、ポアンカレの補題（ぽあんかれのほだい、Poincaré's lemma）とは代数的位相幾何における定理の一つ。ユークリッド空間において、閉形式の微分形式が完全形式となることを主張する。

概要

導入

多様体上のk次微分形式ωに対し、外微分dを施したとき、

$d\omega=0 \,$

が成り立つとき、ωは閉形式(closed form)であるという。 また、k次微分形式ωに対し、k-1次微分形式ηで

$\omega=d\eta \,$

を満たすものが存在するとき、ωは完全形式(exact form)であるという。

外微分の性質

$d \circ d=0 \,$

より、完全形式が閉形式であることは常に成り立つが、閉形式が完全形式になるかは、多様体の幾何学的性質によって異なる。

ポアンカレの補題は『ユークリッド空間Rⁿ（より一般的には可縮な多様体M）において、閉形式が完全形式となること』を主張する。

定理の主張

k >0とし、k次微分形式ω∈A^k(Rⁿ)が

$d\omega=0 \,$

を満たすとする。 このとき、k-1次微分形式η∈A^k-1(Rⁿ)が存在して、

$\omega=d\eta \,$

が成り立つ。

ド・ラーム・コホモロジーによる表現

ド・ラーム・コホモロジーの概念を用いれば、ポアンカレの補題は次のように表現できる。

$H^k(\mathbb{R}^n) = \left\{\begin{matrix} \mathbb{R} & (k=0)\\ 0 & (k>0) \end{matrix}\right.$

但し、多様体M に対し、H^k(M )は商ベクトル空間

$H^k(M) =Z^k(M)/B^k(M) \,$

で定義されるk次のド・ラーム・コホモロジー群であり、Z^k(M )は

$Z^k(M)=\mathrm{ker}\, d \cap A^k(M) \,$

で定義される閉形式のk次微分形式全体、B^k(M )は

$B^k(M)=\mathrm{im}\,d \cap A^k(M) \,$

で定義される完全形式のk次微分形式全体である。

k =0の場合は、単にdf (x )≡0ならば、f が定数関数となることを述べており、k >0の場合が前述の定理と等価な表現となる。すなわち、閉形式(Z ^k(Rⁿ)の元)が完全形式(B ^k(Rⁿ)の元)になることを表している。

拡張

より一般的には可縮な多様体Mについて、次が成り立つ。

$H^k(M) = \left\{\begin{matrix} \mathbb{R} & (k=0)\\ 0 & (k>0) \end{matrix}\right.$

具体例

例えばR²上で定義される1次微分形式

$\omega_1=xy^2 dx + x^2y dy \,$

は、外微分を考えると

$d\omega_1=2xydy \wedge dx + 2xydx \wedge dy=0$

となり、閉形式である。したがって、ポアンカレの補題より完全形式となる。実際、R²上の0次微分形式

$\eta_1=\frac{1}{2}x^2y^2 \,$

について、

$d\eta_1=xy^2 dx + x^2y dy =\omega_1 \,$

が成り立つから、ω₁は完全形式である。

一方、R²から原点を除いた領域R²＼(0,0)で定義される1次微分形式

$\omega_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }dx + \frac{x}{x^2 + y^2 } dy$

は、外微分を考えると

$d\omega_2=0 \,$

が成り立つから、ω₂は閉形式である。しかしながら、考える領域はポアンカレの補題の条件を満たしておらず、ω₂は完全形式であることは保証されない。実際、R²からx軸を除いた領域R²＼{x=0}で定義される0次微分形式

$\eta_2=\arctan{\frac{y}{x}}$

について、

$d\eta_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }dx + \frac{x}{x^2 + y^2 } dy$

であり、局所的にはω₂と一致するが、η₂はR²＼(0,0)では定義されず、ω₂は完全形式ではない。

ベクトル解析との関係

ベクトル解析における、スカラーポテンシャルやベクトルポテンシャルの存在条件は、ポアンカレの補題の特別な場合に相当する。

スカラ-ポテンシャルの存在

R³全体で定義された3次元のベクトル場 Fにおいて、その回転rotが

$\mathrm{rot}\,\mathbf{F}=\mathbf{0}$

を満たすならば、

$\mathbf{F}= \mathrm{grad}\, \psi$

の関係を満たすR³上のスカラ-ポテンシャルψが存在する。 この場合、 F=(F₁, F₂, F₃)は1次微分形式

$\omega = F_1 dx + F_2 dy + F_3 dz \,$

に対応し、ψは0次微分形式ηに対応している。また、回転rotの作用は、1次微分形式に対する外微分に相当する。なお、ベクトル場の領域の条件としては、R³全体以外にも、単連結な領域をとることができる。

ベクトルポテンシャルの存在

同様に、R³全体で定義された3次元のベクトル場 Gにおいて、その発散divが

$\mathrm{div}\,\mathbf{G}=0$

を満たすならば、

$\mathbf{G}= \mathrm{rot}\, \mathbf{A}$

の関係を満たすR³上のベクトルポテンシャルAが存在する。 この場合、 G=(G₁, G₂, G₃)は2次微分形式

$\omega = G_1 dy \wedge dz + G_2 dz \wedge dx + G_3 dx \wedge dy \,$

に対応し、A=(A₁, A₂, A₃)は1次微分形式

$\eta = A_1 dx + A_2 dy + A_3 dz \,$

に対応している。また、発散divの作用は、2次微分形式に対する外微分に相当する。

関連項目

• 微分形式
• ド・ラーム・コホモロジー
• アンリ・ポアンカレ

参考文献

• Raoul Bott and Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer(1995), ISBN 978-0387906133、三村 護 (翻訳)『微分形式と代数トポロジー』シュプリンガー・フェアラーク東京（1996年）、ISBN 978-4431707073