ポアンカレの補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

数学において、ポアンカレの補題(ぽあんかれのほだい、Poincaré lemma)とは代数的位相幾何における定理の一つ。ユークリッド空間において、閉形式である微分形式が完全形式となることを主張する。

概要[編集]

導入[編集]

多様体上の k微分形式 ω に対し、外微分 d を施したとき、


d\omega=0 \,

が成り立つとき、ω は閉形式 (closed form) であるという。あるいは同じことだが、dの元を閉形式という。 また、k 次微分形式 ω に対し、k-1 次微分形式 η で


\omega=d\eta \,

を満たすものが存在するとき、ω は完全形式 (exact form) であるという。あるいは同じことだが、dの元を完全形式という。

外微分の性質


d \circ d=0 \,

より、完全形式が閉形式であることは常に成り立つが、閉形式が完全形式になるかは、多様体の幾何学的性質によって異なる。

ポアンカレの補題は『ユークリッド空間 Rn (より一般的には可縮多様体 M)において、閉形式が完全形式となること』を主張する。

定理の主張[編集]

k > 0 とし、k 次微分形式 ω∈Ak(Rn)が


d\omega=0 \,

を満たすとする。 このとき、k - 1 次微分形式 η∈Ak-1(Rn) が存在して、


\omega=d\eta \,

が成り立つ。

ド・ラーム・コホモロジーによる表現[編集]

ド・ラーム・コホモロジーの概念を用いれば、ポアンカレの補題は次のように表現できる。


H^k(\mathbb{R}^n) = 
\left\{\begin{matrix} \mathbb{R} & (k=0)\\
 0 & (k>0)
\end{matrix}\right.

但し、多様体 M に対し、Hk(M )は商ベクトル空間


H^k(M) =Z^k(M)/B^k(M) \,

で定義される k 次のド・ラーム・コホモロジー群であり、Zk(M ) は


Z^k(M)=\mathrm{ker}\, d \cap A^k(M) \,

で定義される閉形式の k 次微分形式全体、Bk(M ) は


B^k(M)=\mathrm{im}\,d \cap A^k(M) \,

で定義される完全形式の k 次微分形式全体である。

k = 0 の場合は、単に df (x )≡0 ならば、f が定数関数となることを述べており、k > 0 の場合が前述の定理と等価な表現となる。すなわち、閉形式 (Z k(Rn) の元) が完全形式 (B k(Rn) の元) になることを表している。

拡張[編集]

より一般的には可縮な多様体Mについて、次が成り立つ。


H^k(M) = 0 \quad (k>0)

具体例[編集]

例えばR2上で定義される1次微分形式


\omega_1=xy^2 dx + x^2y\, dy \,

は、外微分を考えると


d\omega_1=2xy\,dy \wedge dx + 2xy\,dx \wedge dy=0

となり、閉形式である。したがって、ポアンカレの補題より完全形式となる。実際、R2上の0次微分形式


\eta_1=\frac{1}{2}x^2y^2 \,

について、


d\eta_1=xy^2 dx + x^2y \,dy =\omega_1 \,

が成り立つから、ω1 は完全形式である。

一方、R2から原点を除いた領域R2\(0,0)で定義される1次微分形式


\omega_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }\,dx + \frac{x}{x^2 + y^2 } \,dy

は、外微分を考えると


d\omega_2=0 \,

が成り立つから、ω2 は閉形式である。しかしながら、考える領域はポアンカレの補題の条件を満たしておらず、ω2 は完全形式であることは保証されない。R2 から x 軸を除いた領域 R2\{x=0} で定義される0次微分形式


\eta_2=\arctan{\frac{y}{x}}

について、


d\eta_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }\,dx + \frac{x}{x^2 + y^2 } \,dy

であり、局所的には ω2 と一致するが、η2R2\(0,0) では定義されない。

ベクトル解析との関係[編集]

ベクトル解析における、スカラーポテンシャルベクトルポテンシャルの存在条件は、ポアンカレの補題の特別な場合に相当する。

スカラ-ポテンシャルの存在[編集]

R3 全体で定義された3次元のベクトル場 F において、その回転 rot が


\mathrm{rot}\,\mathbf{F}=\mathbf{0}

を満たすならば、


\mathbf{F}= \mathrm{grad}\, \psi

の関係を満たす R3 上のスカラ-ポテンシャル ψ が存在する。 この場合、 F = (F1, F2, F3) は1次微分形式


\omega = F_1 dx +  F_2 dy + F_3 dz \,

に対応し、ψ は0次微分形式 η に対応している。また、回転 rot の作用は、1次微分形式に対する外微分に相当する。なお、ベクトル場の領域の条件としては、R3 全体以外にも、単連結な領域をとることができる。

ベクトルポテンシャルの存在[編集]

同様に、R3 全体で定義された3次元のベクトル場 G において、その発散 div が


\mathrm{div}\,\mathbf{G}=0

を満たすならば、


\mathbf{G}= \mathrm{rot}\, \mathbf{A}

の関係を満たす R3 上のベクトルポテンシャル A が存在する。 この場合、 G = (G1, G2, G3) は2次微分形式


\omega = G_1 dy \wedge dz +  G_2 dz \wedge dx + G_3 dx \wedge dy \,

に対応し、A = (A1, A2, A3) は1次微分形式


\eta = A_1 dx +  A_2 dy + A_3 dz \,

に対応している。また、発散 div の作用は、2次微分形式に対する外微分に相当する。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Raoul Bott and Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer(1995), ISBN 978-0387906133、三村 護 (翻訳)『微分形式と代数トポロジー』シュプリンガー・フェアラーク東京(1996年)、ISBN 978-4431707073