ホッジ理論

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数学ではウィリアム・バーランス・ダグラス・ホッジ英語版(William Vallance Douglas Hodge)に因んで名付けられたホッジ理論が、微分可能多様体 M の微分形式の研究の一つの側面となっている。特にリーマン多様体 M 上のリーマン計量について、一般化されたラプラシアン偏微分方程式の理論で、(実係数の)コホモロジー群英語版に結果をもたらす。

1930年代にホッジによってド・ラームコホモロジーの拡張として開発され、3つのレベルで大きな応用を持っている。

最初に研究されたことは、M を閉多様体英語版(つまり、境界を持たないコンパクトな多様体)として取った場合であった。その後、上記の3つのレベルで小平邦彦によって取り上げられ(日本で、さらにプリンストンでヘルマン・ワイルの影響の下で)、他の多くへ非常に大きな影響力を持つ理論となった。

応用と例[編集]

ド・ラームコホモロジー[編集]

ホッジによるもともとのホッジ理論の定式化は、ド・ラーム複体に対してであった。M をコンパクトで向き付け可能な多様体で、微分可能な計量 g を持っていて、Ωk(M) を M 上の k 次の微分形式 としたとき、ド・ラーム複体とは次の微分作用素の列のことをいう。

 0\rightarrow \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0

ここに、dk は Ωk(M) 上の外微分を表す。するとド・ラームコホモロジーは次式で定義されるベクトル空間の列である。

H^k(M)=\frac{\ker d_k}{\mathrm{im}\,d_{k-1}}

次のように定義した外微分 d の形式的な随伴を、δ と記し余微分英語版という。すべての α ∈ Ωk(M) と β ∈ Ωk+1(M) に対して、

\int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_{k+1} \,dV = \int_M\langle\alpha,\delta\beta\rangle_k \,dV

であることを要求する。ここに \langle \ ,\ \rangle_k は Ωk(M) に引き起こされた計量である。微分形式上のラプラシアンは Δ = dδ + δd と定義される。このことから調和形式の空間を

\mathcal H_\Delta^k(M)=\{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}.

と定義することができる。d\mathcal H_\Delta^k(M)=0 であるので、標準写像 \varphi:\mathcal H_\Delta^k(M)\rightarrow H^k(M) が存在する。ホッジの元来の定理の第一の部分は、\varphi がベクトル空間の同型であることを言っている。言い換えると、各々の M 上のド・ラームコホモロジー類に対し、一意の調和表現が存在する。

これの大きな結論として、有限次元のコンパクト多様体上のド・ラームコホモロジー群は有限次元であることが導かれる。このことから、作用素 Δ は楕円型であり、コンパクト多様体の楕円型作用素の核は常に有限次元ベクトル空間であることが分かる。

楕円型複体のホッジ理論[編集]

一般に、ホッジ理論はコンパクト多様体の任意の楕円型複体英語版へ適用される。

E_0,E_1,\dots,E_N体積形式 dV を持つコンパクトな多様体 M の上の計量を持つベクトルバンドルとする。

L_i:\Gamma(E_i)\rightarrow\Gamma(E_{i+1})

をこれらのベクトルバンドルの切断の作用する微分作用素として、これから引き出される系列

\Gamma(E_0)\rightarrow \Gamma(E_1)\rightarrow\cdots\rightarrow\Gamma(E_N)

が楕円複体であるとする。直和

\mathcal E^\bullet=\bigoplus_i \Gamma(E_i)
L=\bigoplus L_i:\mathcal E^\bullet\rightarrow\mathcal E^\bullet

を入れて、L* を L の随伴して、楕円型作用素 Δ = LL* + L*L を定義する。ド・ラーム(コホモロジー)のときのように、この系列が調和的な切断の作るベクトル空間

\mathcal H=\{e\in\mathcal E^\bullet\mid\Delta e=0\}.

を与える。従って、H:\mathcal E^\bullet\rightarrow\mathcal H を直交射影とし、G を Δ のグリーン作用素とすると、ホッジの定理 は次のようになる。

  1. H と G が問題なく定義される。
  2. Id = H + ΔG = H + GΔ
  3. LG = GL, L*G = GL*
  4. (楕円型)複体のコホモロジーは、各々のコホモロジー類には一意に調和表現が存在するという意味で、調和的な切断 H(E_j)\cong\mathcal H(E_j) の空間と標準的に同型となる。

ホッジ構造[編集]

前節で(実) ホッジ構造 の抽象的な定義が与えられた。実ベクトル空間 W に対し、W 上の整数のウェイト k のホッジ構造は、W の複素化英語版である WC = W ⊗ C の次数付き空間 Wp, q への直和分解である。ここに k = p + q とし、WC複素共役とは Wq, p へと入れ替えることとする。

代数幾何学での基本的なステートメントとして、非特異な複素射影多様体 V の実数係数の特異コホモロジー群は、そのようなホッジ構造を持っていて、 H^k (V) は複素部分空間 Hp, q への要求通りの分解を持っている。ベッチ数の系列として、次元については、

 b_{k} = \dim H^{k} (V) = \sum_{p+q=k} h^{p,q},\,

となる。ここに和は p + q = k となるすべてのペア p, q を渡ることとし、

 h^{p,q} = \dim H^{p,q}.\,

とする。 h^{p,q} をホッジ数と言う。ベッチ数の系列は、ホッジ数ホッジダイアモンド と言い、2次元的に広がっている。

この次数は、最初は、調和形式の理論から来ていて、ホッジラプラス作用素(一般化された調和函数であり、最大原理によりコンパクト多様体上に局所的定数英語版である必要がある)によって選ばれたド・ラームコホモロジーの中の特別な表現である。後日のドルボー(Dolbeault)の仕事により、上記のホッジ分解は層コホモロジーH^{q} (V,\Omega^{p}) に対しても正しいことが示された。ここに Ωp は正則 p-形式のである。この場合には、ラプラス作用素なしで、より直接的な代数的解釈をもたらす。

特異点をある場合や非コンパクトな多様体の場合は、ホッジ構造は混合ホッジ構造へと変形する必要があり、そこでは二重の次数付きの直和分解がフィルトレーション英語版のペアに置き換えられる。例えばモノドロミー英語版問題のように、より広く使われている。

関連項目[編集]

参考文献[編集]