ケーラー多様体

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数学(特に微分幾何学)において、ケーラー多様体(: Kähler manifold) とは、複素構造リーマン構造シンプレクティック構造という3つが互いに整合性を持つ多様体である。ケーラー多様体 X 上には、ケーラーポテンシャルが存在し、X 上の計量に対応するレヴィ・チヴィタ接続が、標準ラインバンドル上の接続を惹き起す。

小平埋め込み定理のおかげで、ケーラー多様体は充分大きな次元の複素射影空間へ双正則に埋め込まれる。複素射影代数多様体は、ケーラー多様体の重要な例である。

ケーラー多様体の名前はエーリッヒ・ケーラー英語版(Erich Kähler)にちなんでいる。

定義[編集]

ケーラー多様体では複数の構造(複素構造とシンプレクティック構造)が自然に整合性を持つ。ケーラー形式の定義は、下記のような複数の定義方法がある。

シンプレクティック構造の観点[編集]

ケーラー多様体は、可積分な概複素構造英語版を持つシンプレクティック多様体  (K,\omega) である。可積分な概複素構造は、シンプレクティック形式整合を持つ三つ組英語版を持っている。[1]

複素構造の観点[編集]

ケーラー多様体は、付随するエルミート形式閉で完全な微分形式となるエルミート多様体である。この閉形式であるエルミート計量をケーラー計量という。

定義の同値性[編集]

エルミート多様体  K は、自然なエルミート形式  h と可積分な概複素構造  J を兼ね備えた複素多様体である。 h が閉であることを仮定すると、標準的英語版シンプレクティック形式を  \omega = \frac i2 (h - \bar h ) と定義でき  J と整合性を持っているので、第一の定義を満たす。

一方、概複素構造と整合性をもつ任意のシンプレクティック形式は、  (1,1) タイプの複素微分形式であるはずであり、座標  (U, z_i) を使い書き表すと、  h_{jk} \in C^\infty(U,\mathbb C) に対し、

 \omega = \frac i2 \sum_{j,k} h_{jk} dz_j \wedge d\bar{z_k}

となる。 \omega が実数に値を持つ閉じた非退化であることを加えると、 h_{jk}  K の各々の点でエルミート形式を定義することが保証される。[1]

エルミート形式とシンプレクティック形式の関係[編集]

 h をエルミート形式、 \omega をシンプレクティック形式、 J を概複素構造とすると、 \omega  J は整合性を持っているので、新たな形式  g(u,v) = \omega(u,Jv) はリーマン形式となる。[1] これらの構造は、等式 h=g + i\omega により関連付けられていると結論できる。

ケーラーポテンシャル[編集]

[1]によると、 K を複素多様体とすると、すべての多重劣調和函数  \rho \in C^\infty(K; \mathbb R) はケーラー形式を次の形に変えることになる。

 \omega = \frac i2 \partial \bar\partial \rho

ここに  \partial, \bar\partial ドルボー作用素である。函数  \rho ケーラーポテンシャル と呼ばれる。

実際、ポアンカレの補題を使い、逆が局所的に成り立つ。さらに、 (K,\omega) がケーラー多様体であれば、任意の点  p \in K に対して  p の近傍  U と函数  \rho \in C^\infty(M,\mathbb R) が存在し、 \omega\vert_U = i \partial \bar\partial \rho となる。ここに  \rho (局所)ケーラーポテンシャル と呼ばれる。

ケーラー多様体とリッチテンソル[編集]

ケーラー多様体 X 上では、リッチテンソルは標準ラインバンドル曲率形式を決定する(Moroianu 2007, Chapter 12)。標準ラインバンドルは正則ケーラー微分形式英語版のバンドルの外積のべき

\kappa = \wedge^n \Omega_X

である。X 上の計量についてのレヴィ・チヴィタ接続は、κ の上の接続を引き起こし、この接続の曲率は次によって定義される 2-形式である。

\rho(X,Y)\,\stackrel{\text{def}}{=}\,\operatorname{Ric}(JX,Y)

ここに J はケーラー多様体の構造により決定される接バンドル上の複素構造である。リッチ形式は閉じた2-形式であり、そのコホモロジー類英語版は、実数の定数倍を除いて、標準バンドルの第一チャーン類である。従って、(X がコンパクトであれば、)X のトポロジーと複素構造のホモトピー類英語版にのみ依存するという意味で、トポロジカル不変量である。

逆に、リッチ形式はリッチテンソルと次の式により決定される。

\operatorname{Ric}(X,Y) = \rho(X,JY)

局所正則な座標 zα を使うと、リッチ形式は、

\rho = -i\partial\overline{\partial}\log\det(g_{\alpha\overline{\beta}})

で与えられる。ここに \partialドルボー作用素

g_{\alpha\overline{\beta}} = g\left(\frac{\partial}{\partial z^\alpha},\frac{\partial}{\partial \overline{z}^\beta}\right)

である。

リッチテンソルがゼロとなると、標準バンドルは平坦であるので、構造群英語版は特殊線形群 SL(n,C) の部分群へ局所的に縮約することができる。しかしながらケーラー多様体は既に U(n) の中にホロノミーを持っているので、リッチ平坦なケーラー多様体の(制限された)ホロノミーは SU(n) の中に含まれる。逆に、2n-次元のリーマン多様体の(制限された)ホロノミーが SU(n) を含むと、多様体はリッチ平坦なケーラー多様体となる(Kobayashi & Nomizu 1996, IX, §4)。

ケーラー多様体上のラプラス作用素[編集]

\starホッジ作用素英語版とすると、微分可能多様体 X 上でラプラス作用素を次のように定義することができる。 \Delta_d=dd^*+d^*d ここに d外微分形式d^*=-(-1)^{nk}\star d\star とする。さらに X がケーラーであれば、dd^* は次のように分解される。

d=\partial+\bar{\partial},\ \ \ \ d^*=\partial^*+\bar{\partial}^*

そして、別のラプラス作用素が定義できる。

\Delta_{\bar{\partial}}=\bar{\partial}\bar{\partial}^*+\bar{\partial}^*\bar{\partial},\ \ \ \ \Delta_\partial=\partial\partial^*+\partial^*\partial

は、次の満たす。

\Delta_d=2\Delta_{\bar{\partial}}=2\Delta_\partial

これらの事実より、次のホッジ分解が得られる。(ホッジ理論を参照)

\mathbf{H^r}=\bigoplus_{p+q=r}\mathbf{H}^{p,q}

ここに \mathbf{H^r} は r-次調和形式 であり、\mathbf{H}^{p,q}X 上の{p,q}-次調和形式とする。すなわち、微分形式 \alpha が調和形式であることと、各々の \alpha^{i,j} が{i,j}-次の調和形式に属することとは同値である。

さらに、X がコンパクトであれば、

H^p(X,\Omega^q)\simeq H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)\simeq\mathbf{H}^{p,q}

を得る。ここに H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)\bar{\partial}-調和コホモロジー群とする。このことは、\alpha が{p,q}-次の微分形式であれば、ドルボーの定理により、ただ一つの{p,q}-次調和形式が決定する。

h^{p,q}=\text{dim} H^{p,q} をホッジ数と呼ぶとすると、

b_r=\sum_{p+q=r}h^{p,q},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{q,p},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{n-p,n-q}.

が得られる。最初の左辺 br はr-番目のベッチ数であり、第二の等号はラプラス作用素 \Delta_d が実作用素 H^{p,q}=\overline{H^{q,p}} であることから来て、最後の等号はセール双対性から結果を得る。

応用[編集]

ケーラー多様体は、リッチテンソル計量テンソルに比例する、つまりある定数 λ に対し R = \lambda g である場合に、ケーラー形式と計量を ケーラー・アインシュタイン (あるいはときにはアインシュタイン・ケーラー)と呼ぶ。この命名はアインシュタイン宇宙定数について考えたことにちなむ。さらに詳しくはアインシュタイン多様体の項目を参照のこと。

元来、ケーラー条件とアインシュタイン条件は独立した条件である。アインシュタイン条件とは、リッチテンソルがある実定数でリーマン計量テンソルと比例関係にあることをいう。重要な点は、X がケーラーであれば、クリストフェル記号 \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} がゼロとなり、リッチテンソルが非常に簡素化される。従って、ケーラー条件はリッチテンソルと深く関係する。事実、オーバン(Thierry Aubin)とヤウ(Shing-Tung Yau)は、チャーン類が c1 = 0 であるコンパクトなケーラー多様体は唯一のリッチ平坦な計量が各々のケーラー類にあることを使いカラビ予想を証明した。しかし、ケーラー多様体が非コンパクトの場合は、さらに状況が複雑になり、いくつかの研究はあるものの最終的な結果はえられていない。

[編集]

  1. 標準的エルミート計量を持つ複素ユークリッド空間 Cn はケーラー多様体である。
  2. トーラス Cn/Λ (Λ は格子全体とする)は Cn のユークリッド計量を引き継ぐので、コンパクトなケーター多様体である。
  3. リーマン面上のすべてのリーマン計量は、形式 ω が閉であるという条件が実2-次元では自明であるので、ケーラーである。
  4. 複素射影空間 CPn は等質な(homogeneous)なケーラー計量を持り、フビニ・スタディ計量と呼ばれる。(ベクトル空間)Cn + 1 のエルミート形式は、GL(n + 1,C) のユニタリな部分群 U(n + 1) であり、フビニ・スタディ計量はそのような U(n + 1) 作用の不変性によりホモセティ(スケーリングを渡る)を同一視して、決定される。基本的な線形代数により任意の2つのフビニ・スタディ計量は CPn の射影的な自己同型の下にイソメトリック(isometric)であるので、すべてを総称して「フビニ・スタディ計量」という。
  5. ケーラー多様体の複素部分多様体英語版上に引き起こされた計量はケーラーである。特に、任意のシュタイン多様体Cn へ埋め込まれた)もしくは射影的代数多様体CPn へ埋め込まれた)はケーラータイプである。このことは解析的理論でも基本的である。
  6. 単位複素球(ball) Bn はケーラー計量を持ち、定数である正則切断曲率を持つベルグマン計量英語版(Bergman metric)と呼ばれる。
  7. すべてのK3曲面はケーラーである。(Y.-T. Siuの定理)

ケーラー多様体の部分クラスとして重要なクラスにカラビ・ヤウ多様体がある。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ a b c d Canas da Silva, Ana (2008). Lectures on Symplectic Geometry. Springer. ISBN 978-3540421955. 

外部リンク[編集]