ベッチ数

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代数トポロジーでは、ベッチ数(Betti numbers) は位相空間を n 次元単体的複体(simplicial complex)の連結性で識別することに使う。

A torus.
トーラスはひとつの連結成分(b0)を持っていて、二つの円状の穴(b1)(ひとつは中心を原点とする円で、もうひとつは、管状になっている中の円状の部分)であり、2-次元の中身のない部分を中に持つ(内部が管状となっている)ものがひとつ(b2)であるので、ベッチ数は 1(b0), 2(b1), 1(b2) となる.

図に示したように、n 次ベッチ数は、Hn と書き、n 次ホモロジー群(homology group)のランクを表していて、2つのピースあるいは、0-サイクル、1-サイクルなどへと曲面が分離せずに切り込みを入れことのできる最大数であることなどが分かる。[1]ベッチ数は、今日、単体的複体計算機科学デジタル画像などの分野で研究されている。

「ベッチ数」ということばは、エンリコ・ベッチ(Enrico Betti)にちなみ、アンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)により命名された。

定義[編集]

非公式には、k 番目のベッチ数は、非連結な k-次元曲面の数のことを言う.先頭のいくつかのベッチ数は次のように定義される。

  • b0 は連結成分の数
  • b1 「円のような」、もしくは 1-次元の穴の数
  • b2 中身のない面でできている 2-次元の穴の数

2-次元ベッチ数までは、現実の世界は 0, 1, 2, 3-次元であることを見ているので、容易に理解することができるが、次のように高次元のベッチ数を理解しようとすることはより難しくなる。

(正式な一般次元のベッチ数の定義としては、)非負の整数を  k として、空間 X の k 次ベッチ数 bk(X) は、X の k 次ホモロジー群であるアーベル群 Hk(X) のランク英語版として定義される。この場合のホモロジー群は、有理数Q 上のベクトル空間である。k 次ホモロジー群は  H_{k} = ker \delta_{k}/im \delta_{k+1} であり、 \delta_{k}s 単体複体英語版(simplicial complex)の境界写像であるので、Hk のランクは、k次ベッチ数である。同値なことであるが、この場合にはホモロジー群は有理数体 Q 上のベクトル空間とすることもできるので、Hk(XQ) のベクトル空間の次元としてベッチ数を定義することもできる。普遍係数定理英語版(universal coefficient theorem)は、ねじれのない単純な場合には(係数の取り方に依存せず)これらの定義が同じであることを示している。

さらに一般的には、 F に対して、F に係数を持つ k 次ベッチ数 bk(X, F) を、Hk(X, F) のベクトル空間の次元として定義することができる。

例:グラフ理論のベッチ数[編集]

位相的グラフ理論英語版では、頂点 n 個、m 本の辺、k 個の連結成分をもったグラフ G の 1次ベッチ数は、次の値に等しい。

m - n + k.\

このことは、辺の数についての数学的帰納法により直接証明ができるかも知れない。新しい辺 1-サイクルの数を増やす、もしくは連結成分の数を減らすかである。

ソフトウェア工学での第一ベッチ数への応用として循環的複雑さ英語版を参照のこと。

性質[編集]

(有理)ベッチ数 bk(X) は、ホモロジー群の任意のねじれ部分群英語版(torsion)を考慮に入れてはいないが、しかし、非常に基本的な位相不変量である。直感的な言葉を使うと、ベッチ数は様々な次元の「穴」の数を数えることになる。例えば、円の場合には第一ベッチ数は  1 である。一般的なプレツェル(pretzel)の場合は、第一ベッチ数は穴の数の 2倍となる。

有限の単体複体の場合は、ホモロジー群 Hk(X, Z) は有限生成であり、従って有限ランクである。ホモロジー群は、k が X の単体の一番高い次元を超えている場合は 0 である。

有限の CW-複体 K に対し、

\chi(K)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^ib_i(K,F), \,

が成り立つ。ここに \chi(K) は K のオイラー標数を表し、F は任意の体である。

2つの空間 X と Y に対し

P_{X\times Y}=P_X P_Y , \,

が成り立つ。ここに PX は X の ポアンカレ多項式(Poincaré polynomial)(より一般的には、無限次元の空間に対してはポアンカレ級数英語版)、すなわち X のベッチ数の母函数である

P_X(z)=b_0(X)+b_1(X)z+b_2(X)z^2+\cdots , \,\!

である。キネットの定理英語版(Künneth theorem)を参照。

X を n-次元多様体とすると、任意の k に対し k と n − k を入れ替える対称性

b_k(X)=b_{n-k}(X) , \,\!

がある。この時の条件は(閉であること、向き付け可能である多様体であること)である。ポアンカレ双対性を参照。

体 F に依存することは、体の標数に関してだけである。ホモロジー群がねじれ英語版を持たない(torsion-free)とき、ベッチ数は F とは独立となる。標数p英語版で、p を素数としたときの p-torsion とベッチ数は、(単純な場合には、Tor 函手英語版を基礎とする)普遍係数定理英語版により詳細に求められる。

[編集]

  1. 円に対するベッチ数の列は、1, 1, 0, 0, 0, ...
    ポアンカレ多項式は、
    1+x \,.
  2. 2-トーラスに対するベッチ数の列は 1, 2, 1, 0, 0, 0, ...
    ポアンカレ多項式は、
    (1+x)^2=1+2x+x^2 \,.
  3. 3-トーラスに対するベッチ数の列は 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ...
    ポアンカレ多項式は、
    (1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3 \,.
  4. 同様に、n-トーラスに対して
    ポアンカレ多項式は、
    (1+x)^n \,キネットの定理英語版により)、ベッチ数は二項係数である。

無限次元の空間に対し、ゼロではないベッチ数の列を持たせることは本質的には可能である。例として、無限次元の複素射影空間英語版のベッチ数の列は、1, 0, 1, 0, 1, ... と周期的となるので、周期の長さは 2 である。 この場合は、ポアンカレ函数は多項式ではなく、無限級数

1+x^2+x^4+\dotsb

となる。これは、幾何級数であり、次の有理函数として書き表すことができる。

\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+(x^2)^2+(x^2)^3+\dotsb.

さらに一般的に、任意の周期を持つ数列は、上記のように幾何級数の和として書き表すことができ(例えば、a,b,c,a,b,c,\dots, は母函数

(a+bx+cx^2)/(1-x^3) \,),

を持つ)、さらに一般的に、線型再帰級数英語版(linear recursive sequence)は、有理函数により生成された数列となる。このようにして、ポアンカレ級数は、有理函数として表されることと、ベッチ数の列が線型再帰級数であることとは同値である。

コンパクトな単純リー群のポアンカレ多項式は、

P_{SU(n+1)_{}}(x) = (1+x^3)(1+x^5)...(1+x^{2n+1})
P_{SO(2n+1)_{}}(x) = (1+x^3)(1+x^7)...(1+x^{4n-1})
P_{Sp(n)_{}}(x) = (1+x^3)(1+x^7)...(1+x^{4n-1})
P_{SO(2n)_{}}(x) = (1+x^{2n-1})(1+x^3)(1+x^7)...(1+x^{4n-5})
P_{G_{2}}(x) = (1+x^3)(1+x^{11})
P_{F_{4}}(x) = (1+x^3)(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{23})
P_{E_{6}}(x) = (1+x^3)(1+x^{9})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{17})(1+x^{23})
P_{E_{7}}(x) = (1+x^3)(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{19})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})
P_{E_{8}}(x) = (1+x^3)(1+x^{15})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})(1+x^{39})(1+x^{47})(1+x^{59})

となる。

微分形式の空間の次元との関係[編集]

X閉多様体英語版であるという前提では、ベッチ数の重要さは微分形式から来ることであるかも知れない。すなわち、ベッチ数は閉微分形式完全形式で割った剰余(en:Modular arithmetic)空間の次元と考えることができる。上で与えた定義との関係は、3つの基本的な結果である、ド・ラームの定理ポアンカレ双対性(いつこれが適用されるか)、ホモロジー論英語版普遍係数定理英語版を経由して得られる。


別な見方もできる。つまり、ベッチ数は調和形式の空間の次数を与えるものと見ることもできる。これには、ホッジラプラシアンに関するホッジ理論の結果をいくつか使う必要がある。

この設定で、モース理論は、ベッチ数の交代和の不等式の組を、与えられた指数のモース函数(Morse function)の臨界点(critical point N_i の数の対応する交代和の項で表す。

 b_i(X) - b_{i-1} (X) +  \cdots \le N _i - N_{i-1} + \cdots.

ウィッテンは、モース函数を使いこれらの不等式の説明をして、ド・ラーム複体外微分を変形した。[2]


参考文献[編集]

  1. ^ Barile, and Weisstein, Margherita and Eric. “Betti number”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. 2014年2月26日閲覧。
  2. ^ Witten, Edward (1982). Supersymmetry and Morse theory. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 4, 661–692.
  • Warner, Frank Wilson (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, New York: Springer, ISBN 0-387-90894-3 .
  • Roe, John (1998), Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Research Notes in Mathematics Series, 395 (Second ed.), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1 .